Sucessões e progressões

Bases: a posição não é o valor

Uma sucessão é uma função definida em posições inteiras sucessivas, por exemplo n = 1, 2, 3, …. Escrevemos uₙ para o termo de ordem n. Na sucessão 7, 11, 15, 19, …, temos u₁ = 7 e u₃ = 15. O índice 3 é uma posição, enquanto 15 é o valor nessa posição; não são duas maneiras de escrever o mesmo número.

Algumas sucessões começam em n = 0. Se definirmos vₙ = 5 × 2ⁿ para n = 0, 1, 2, …, o primeiro valor é v₀ = 5. Se começarmos em n = 1, o primeiro valor dessa mesma expressão será 10. Antes de usar uma fórmula, lê de onde começa o índice e que grandeza o termo representa.

No gráfico de uma sucessão marcam-se pontos (n, uₙ). Não existem automaticamente entradas como n = 2,5. Ligar pontos por uma linha pode ajudar a ver uma tendência, mas introduz valores intermédios que não pertencem ao domínio original. Uma função de variável real pode servir de prolongamento, desde que se reconheça essa nova escolha.

Regras explícitas, recorrência e limites de um padrão

Uma regra explícita calcula o termo diretamente a partir do índice. Em uₙ = 4n + 3, n ≥ 1, encontramos u₁₀ = 43 sem calcular os nove termos anteriores. Uma regra de recorrência calcula a partir de termos anteriores e precisa de dados iniciais: u₁ = 7 e uₙ₊₁ = uₙ + 4 para n ≥ 1 produzem a mesma sucessão.

A recorrência sozinha não basta. A regra «somar 4 ao anterior» pode começar em 7, em −2 ou noutro número, originando sucessões diferentes. Uma recorrência com dois termos anteriores, como uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ, exige normalmente dois valores iniciais para fixar a sucessão.

Observar 2, 4, 6 não prova que o próximo termo seja 8. Essa continuação é natural sob a hipótese de diferença constante, mas outras regras coincidem nos três primeiros termos. Por exemplo, uₙ = 2n + (n − 1)(n − 2)(n − 3) dá 2, 4, 6 e depois 14. É necessário distinguir «a regra proposta é» de «os poucos dados obrigam a». A justificação matemática trabalha com a regra, não só com a aparência.

Progressão aritmética: crescimento por adição

Numa progressão aritmética, ou PA, a diferença entre termos consecutivos é constante: uₙ₊₁ − uₙ = d. O número d chama-se razão da PA. Pode ser positivo, negativo ou zero. Partindo de u₁, o segundo termo é u₁ + d, o terceiro é u₁ + 2d e, após n − 1 passos, o termo geral é:

O fator n − 1 conta as passagens entre o primeiro termo e o termo de ordem n. Para ir da posição 1 à posição 6 fazemos cinco passagens, não seis. Se o índice começar em zero, a fórmula correspondente é uₙ = u₀ + nd. Essa diferença é de convenção, não uma contradição.

Se d > 0, a PA é estritamente crescente; se d < 0, é decrescente; se d = 0, é constante. Entre dois termos, uⱼ − uᵢ = (j − i)d. Assim, conhecer duas posições distintas e os respetivos valores permite calcular d. É a estrutura de uma função afim observada apenas nas entradas inteiras, com a mesma unidade de acréscimo em cada passo.

Somar uma PA por emparelhamento

Chama Sₙ à soma dos primeiros n termos. Escreve a soma uma vez em ordem normal e outra em ordem inversa. Ao adicionar membro a membro, cada par vale u₁ + uₙ: o primeiro e o último, o segundo e o penúltimo, e assim por diante. Existem n pares nesta adição de duas cópias da soma, pelo que 2Sₙ = n(u₁ + uₙ).

A divisão por dois corrige o facto de termos contado a soma duas vezes. O argumento também funciona com n ímpar: a apresentação de duas cópias evita qualquer dificuldade com o termo central. Não precisamos de uma regra separada para somas com número ímpar de termos.

Por exemplo, uma fila de blocos pode ter 6 peças, a seguinte 9, depois 12, continuando com aumento constante de 3. A sexta tem 6 + 5 × 3 = 21 peças. O total das seis filas é 6(6 + 21)/2 = 81 peças. O termo u₆ mede peças numa fila; S₆ mede peças em todas as seis filas. Confundir termo e soma responde a outra pergunta.

Progressão geométrica: crescimento por fator

Numa progressão geométrica, ou PG, cada termo obtém-se multiplicando o anterior por um fator constante q: uₙ₊₁ = quₙ. Com primeiro termo não nulo e q ≠ 0, o quociente uₙ₊₁/uₙ confirma a razão. Após n − 1 multiplicações, uₙ = u₁qⁿ⁻¹. Se q = 0, a recorrência produz u₁, 0, 0, …; trata esse caso diretamente para evitar dividir por termos nulos.

Uma percentagem constante dá um fator constante: aumentar 15% equivale a multiplicar por 1,15; diminuir 15% equivale a multiplicar por 0,85. Aumento percentual não é aumento absoluto constante. Partindo de 100, dois aumentos de 15% dão 100 × 1,15² = 132,25, porque o segundo aumento incide sobre 115.

Para u₁ > 0, q > 1 produz crescimento; 0 < q < 1 produz decrescimento para valores positivos. Se q < 0, os sinais alternam, pelo que «aumenta sempre» deixa geralmente de fazer sentido. A magnitude depende de |q|. Por exemplo, com q = −1/2, os sinais alternam enquanto os módulos diminuem. A condição sobre u₁ importa ao afirmar monotonia.

Somar e comparar modelos multiplicativos

Para uma PG finita, Sₙ = u₁ + u₁q + … + u₁qⁿ⁻¹. Multiplicar por q desloca os termos uma posição. Subtrair as duas igualdades cancela os termos intermédios e dá Sₙ − qSₙ = u₁ − u₁qⁿ. Portanto, se q ≠ 1, Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Para q = 1, todos os termos são u₁ e Sₙ = nu₁.

Uma soma infinita não se obtém só apagando o último termo. Quando |q| < 1, qⁿ aproxima-se de zero e as somas finitas aproximam-se de u₁/(1 − q). Este valor é o limite das somas parciais. Fora dessa condição, em geral não há uma soma infinita finita por essa fórmula; o caso de todos os termos nulos é trivial e deve distinguir-se.

Ao comparar uma PA com uma PG, especifica o horizonte e os parâmetros. Uma PG de razão 0,9 diminui, não cresce mais depressa do que uma PA crescente. Em aplicações, fatores e acréscimos podem mudar com o tempo. Um modelo regular é útil dentro das hipóteses assumidas; não é uma garantia de que populações, preços ou recursos mantenham para sempre a mesma regra.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

O índice n é o valor do termo.

n identifica a posição; uₙ é o número associado a essa posição.

Na fórmula a partir do primeiro termo há n acréscimos.

Da posição 1 à posição n há n − 1 passagens.

Uma percentagem constante cria uma PA.

Cria multiplicação por fator constante, isto é, uma PG quando as condições se mantêm.

A fórmula de soma geométrica permite sempre infinitos termos.

Para obter um limite finito não trivial exige-se |q| < 1.