Funções, domínio e representações

Revisão: de uma regra a pares ordenados

Uma relação associa elementos. Uma função é uma relação em que cada entrada permitida tem exatamente uma saída. Considera a regra «a cada inteiro entre 1 e 4 associar o seu quadrado». Os pares são (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16). A lista permite verificar a unicidade da saída para todas as entradas desse domínio finito.

Na notação f(x), x é a entrada e f(x) é o resultado. Se f(x) = 3x − 2, então f(5) = 13. Já f(x) = 13 é uma equação, cuja solução é x = 5. A letra f é o nome da função; poderíamos chamar-lhe g sem mudar a ideia, desde que a definição fosse a mesma. A variável de entrada também pode chamar-se t, especialmente quando representa tempo.

Rever a substituição é essencial: se g(x) = x² + 2x, então g(−3) = (−3)² + 2(−3) = 9 − 6 = 3. Os parênteses mantêm a entrada negativa inteira sob o quadrado. Podemos ter g(1) = 3 também. Isso não viola a definição: duas entradas podem dar a mesma saída.

Domínio, contradomínio e imagem

Escrever f: D → C indica que D é o domínio e C o contradomínio declarado. Cada x de D tem de receber um valor f(x) pertencente a C. A imagem, Im(f), reúne apenas os valores que são efetivamente atingidos. Por isso Im(f) está contida em C, mas não tem de ser igual a C.

Por exemplo, define f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ por f(x) = x². O domínio contém cinco entradas; a imagem é {0, 1, 4}; o contradomínio é todo ℝ. O número 3 pertence ao contradomínio, mas não à imagem. Se declarássemos o contradomínio {0, 1, 4}, a mesma regra sobre as mesmas entradas passaria a atingir todo o contradomínio.

Na função q: ℝ → ℝ, q(x) = x², a imagem é [0, +∞[. Todo y ≥ 0 é atingido por x = √y, enquanto nenhum y negativo pode ser quadrado de real. Chama-se sobrejetiva uma função que atinge todo o contradomínio declarado. Chama-se injetiva uma função em que entradas diferentes produzem saídas diferentes; q não é injetiva em ℝ, pois q(−2) = q(2).

Como descobrir o domínio de uma fórmula

Quando uma fórmula é dada sem domínio explícito e trabalhamos em ℝ, procuramos o seu domínio natural: os valores reais para os quais todas as operações fazem sentido. Polinómios, como x³ − 2x + 1, aceitam todos os reais. Um denominador não pode ser zero. Uma raiz de índice par exige radicando não negativo; uma raiz de índice ímpar admite também números negativos.

Para f(x) = √(x − 2)/(x − 5), precisamos simultaneamente de x − 2 ≥ 0 e x − 5 ≠ 0. A primeira condição dá x ≥ 2; a segunda exclui 5. O domínio é [2, 5[ ∪ ]5, +∞[. O símbolo ∪ significa união: entradas de um intervalo ou do outro. A palavra «simultaneamente» corresponde à interseção das condições, não à escolha de uma só.

A simplificação não elimina as restrições originais. A expressão (x² − 9)/(x − 3) coincide com x + 3 apenas para x ≠ 3. A primeira tem uma entrada proibida em 3; a segunda, se definida em todo ℝ, não a tem. As fórmulas simplificadas podem descrever os mesmos valores onde ambas existem, mas funções com domínios diferentes não são a mesma função.

Palavras, tabela, diagrama e gráfico

Uma descrição verbal explica o significado das grandezas e as hipóteses; uma tabela mostra pares concretos; uma expressão permite calcular valores; um gráfico torna visíveis tendências e interseções. Nenhuma representação dispensa automaticamente as outras. Uma tabela finita não determina, por si só, uma fórmula única para todos os reais: muitas regras podem coincidir nos pontos listados e diferir entre eles.

Num diagrama de setas, cada elemento do domínio deve ter uma única seta de saída. Várias setas podem chegar ao mesmo destino. No gráfico cartesiano, uma reta vertical x = a não pode encontrar dois pontos com ordenadas diferentes se a relação for função de x. O teste da reta vertical traduz geometricamente a unicidade da saída.

Uma circunferência completa não é o gráfico de uma única função y de x: para várias abcissas existem uma ordenada positiva e outra negativa. A semicircunferência superior pode ser uma função, por exemplo y = √(r² − x²) em [−r, r], com r > 0. Restringir a relação permite escolher uma única saída, mas precisamos de declarar essa escolha.

Ler crescimento e taxas médias

Uma função é crescente num intervalo quando entradas maiores dão saídas maiores; é decrescente quando entradas maiores dão saídas menores. Compara sempre da esquerda para a direita no eixo de entrada. Para f(x) = (x − 3)², a função diminui até x = 3 e aumenta depois. Ter saídas positivas não implica crescer: entre 0 e 2, os valores 9, 4 e 1 são positivos e diminuem.

A taxa média de variação entre entradas distintas a e b é [f(b) − f(a)]/(b − a). O numerador mede mudança de saída; o denominador mede mudança de entrada. Se a saída é volume em litros e a entrada é tempo em minutos, a taxa é em litros por minuto. Uma taxa média não garante que a mudança tenha ocorrido de forma uniforme.

Para V(t) = 120 − 6t, entre t = 2 e t = 7, V passa de 108 para 78. A taxa média é (78 − 108)/(7 − 2) = −30/5 = −6 L/min. O sinal negativo indica diminuição do volume. Para esta função afim, todas as taxas médias coincidem; para uma função quadrática isso já não acontece.

Domínio de contexto e funções por ramos

Um modelo pode ter um domínio mais restrito do que a sua expressão. Se V(t) = 120 − 6t representa o esvaziamento de um depósito a taxa constante, o tempo começa em 0 e termina quando V = 0, isto é, em t = 20 min. Usar t = 30 daria volume −60 L, permitido pela conta mas incompatível com este modelo físico.

Há situações em que regras diferentes se aplicam em regiões diferentes. Um serviço hipotético pode cobrar C(n) = 100n para 0 ≤ n ≤ 5 e C(n) = 500 + 80(n − 5) para n > 5, em que n é um número inteiro de unidades e C está em Kz. O segundo ramo conserva o custo das primeiras cinco e acrescenta 80 por unidade adicional; não reaplica o preço a todas as unidades.

Para avaliar C(7), escolhe primeiro o ramo certo: C(7) = 500 + 80 × 2 = 660 Kz. Não basta ver uma letra e substituir numa expressão qualquer. Os extremos dos ramos precisam de regras claras: se dois ramos incluírem a mesma entrada com saídas distintas, a definição falha; se uma entrada do domínio ficar sem ramo, também falha.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Imagem e contradomínio são sempre iguais.

A imagem contém só saídas efetivamente atingidas; o contradomínio é o conjunto de destino declarado.

A fórmula determina tudo o que é uma função.

O domínio e o contradomínio fazem parte da definição.

Uma saída repetida impede uma função.

É uma entrada com duas saídas diferentes que viola a definição.

Uma função positiva é necessariamente crescente.

Positividade compara saídas com zero; crescimento compara saídas entre si quando a entrada aumenta.