Semelhança, Pitágoras e trigonometria

Bases: ângulos, lados e proporcionalidade

Um triângulo tem três lados e três ângulos internos, cuja soma, na geometria plana euclidiana, é 180°. Se um ângulo mede 90°, o triângulo é retângulo. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa; é o maior lado. Os outros dois são catetos. A hipotenusa não depende de onde colocamos o papel nem de o lado parecer inclinado no desenho.

Uma razão compara duas quantidades por divisão. Para comprimentos medidos na mesma unidade, a razão é um número sem unidade: 6 cm/3 cm = 2. Uma proporção afirma que duas razões são iguais. Em 6/3 = 10/5, os dois pares têm o mesmo fator de escala. Se a/b = c/d e b,d ≠ 0, multiplicar pelos denominadores permite ad = bc.

Desenha sempre antes de calcular. Marca o ângulo reto, os dados, a incógnita e as unidades. Um desenho ajuda a organizar informação, mas não prova que dois lados sejam iguais ou que um ângulo seja reto; essas propriedades devem vir dos dados ou de um argumento. Se a figura não estiver à escala, confiar no aspeto pode ser especialmente enganador.

Semelhança: conservar a forma, mudar o tamanho

Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais. A correspondência é essencial: o lado entre os ângulos A e B deve ser comparado com o lado entre os ângulos correspondentes A′ e B′. Escrever os vértices pela ordem certa evita misturar lados que desempenham papéis diferentes.

Em triângulos, basta conhecer dois ângulos correspondentes iguais: o terceiro também coincide pela soma de 180°, e a forma fica determinada. Também podemos justificar semelhança por três pares de lados proporcionais, ou por dois pares proporcionais e igualdade do ângulo compreendido entre esses lados. Igualdade de um só ângulo não basta.

Se o fator de escala de um triângulo para outro é k > 0, cada comprimento e o perímetro multiplicam-se por k. A área multiplica-se por k², porque base e altura são ambas comprimentos. Um desenho ampliado com k = 3 tem lados três vezes maiores e área nove vezes maior. A semelhança conserva a forma, mas não conserva a área nem transforma uma figura em outra de igual tamanho.

Porque aparece a soma dos quadrados

Num triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, o teorema de Pitágoras afirma a² + b² = c². Podemos compreender a igualdade por áreas. Coloca quatro cópias desse triângulo dentro de um quadrado de lado a + b, deixando no centro um quadrado de lado c. A área total é (a + b)²; a soma das quatro áreas triangulares é 4(ab/2) = 2ab.

A área central vale, portanto, (a + b)² − 2ab = a² + b², mas também é c². Daí a relação. Esta explicação depende do ângulo reto e da construção do quadrado central. Não se aplica automaticamente a um triângulo oblíquo, em que não temos a mesma disposição geométrica.

Para encontrar a hipotenusa calculamos c = √(a² + b²), escolhendo a raiz positiva porque é um comprimento. Para encontrar um cateto, por exemplo a, usamos a = √(c² − b²). Subtrair exige que c seja a hipotenusa. O recíproco também vale: se o quadrado do maior lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é retângulo.

A altura à hipotenusa e as relações métricas

Considera um triângulo ABC retângulo em C. Vamos chamar c ao comprimento da hipotenusa AB, b ao cateto AC e a ao cateto BC. Traça a altura CH à hipotenusa: H pertence a AB, CH é perpendicular a AB e o seu comprimento é h. As partes da hipotenusa são AH = p e HB = q; portanto c = p + q. As letras designam comprimentos positivos neste desenho.

Os dois triângulos menores são semelhantes ao original: cada um tem um ângulo reto e partilha um ângulo agudo com ele. No triângulo AHC e no original ABC, comparar lados correspondentes dá b/c = p/b. Multiplicando por bc, obtemos b² = cp. Do mesmo modo, no lado de B, a² = cq. Cada cateto ao quadrado é a hipotenusa multiplicada pela projeção desse cateto nela.

Podemos deduzir a relação da altura usando o pequeno triângulo AHC: h² = b² − p². Como b² = cp e c = p + q, fica h² = p(p + q) − p² = pq. Logo h² = pq. Somando as relações dos catetos, a² + b² = c(p + q) = c², recuperamos Pitágoras. Não são três regras independentes para decorar: as mesmas semelhanças ligam-nas.

Exemplo: se p = 9 cm e q = 16 cm, então c = 25 cm. A altura é √(9 × 16) = 12 cm. Os catetos são b = √(25 × 9) = 15 cm e a = √(25 × 16) = 20 cm. Confere: 15² + 20² = 625 = 25². As unidades também fecham: produto de dois comprimentos dá comprimento ao quadrado.

Estas relações exigem um triângulo retângulo e a altura traçada à sua hipotenusa. Uma altura qualquer num triângulo oblíquo não pode ser colocada automaticamente em h² = pq. Faz o desenho, identifica o ângulo reto e só depois associa cada projeção ao respetivo cateto.

Seno, cosseno e tangente: razões de um ângulo

Escolhe um ângulo agudo θ num triângulo retângulo. O cateto oposto não toca nesse ângulo; o cateto adjacente toca nele e não é a hipotenusa. Se mudares para o outro ângulo agudo, os dois catetos trocam de papel. A hipotenusa continua a mesma. Esta identificação deve vir antes de escolher uma fórmula.

Porque dependem estas razões apenas do ângulo e não do tamanho do triângulo? Dois triângulos retângulos com o mesmo θ têm também o mesmo terceiro ângulo; são semelhantes. Multiplicar todos os lados por k multiplica numerador e denominador pelo mesmo fator, que se cancela. A trigonometria é, assim, uma forma de organizar a proporcionalidade.

O seno e o cosseno de um ângulo agudo estão entre 0 e 1, porque um cateto é menor do que a hipotenusa. A tangente pode ultrapassar 1. A relação tan θ = sen θ/cos θ resulta de dividir as duas razões. Para medir comprimentos usa os lados na mesma unidade; seno, cosseno e tangente são razões sem unidade.

Ler um triângulo por vários caminhos

As medidas verificam 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Para o ângulo marcado, sen θ = 5/13, cos θ = 12/13 e tan θ = 5/12. Não precisamos de calcular o ângulo para conhecer estas razões exatas. Se duplicarmos o desenho, os lados tornam-se 10, 24 e 26; cada razão mantém-se.

Para recuperar θ a partir da tangente usamos a operação inversa arctan: θ = arctan(5/12) ≈ 22,62°. Confere o modo da calculadora: nesta aula os ângulos numéricos com símbolo ° estão em graus. O valor arctan(5/12) em radianos seria outro número que representa a mesma abertura. Arredondar a razão demasiado cedo reduz a precisão do ângulo.

Escolher uma relação e examinar as hipóteses

Se conheces dois lados de um triângulo retângulo e procuras o terceiro, Pitágoras costuma ser suficiente. Se conheces um ângulo agudo e um lado, uma razão trigonométrica liga-os ao lado procurado. Se comparas duas figuras de mesma forma, a semelhança pode evitar calcular qualquer ângulo. A escolha depende da informação disponível, não da fórmula mais recente que estudaste.

Para estimar a altura de uma estrutura por sombras, os raios solares têm de poder tratar-se como paralelos, o chão deve ser aproximadamente plano e as medições simultâneas. Uma vara vertical e a estrutura vertical produzem então triângulos semelhantes. Se o terreno tem inclinações diferentes, a proporção simples deixa de estar justificada.

Numa medição por ângulo de elevação, o observador forma um triângulo entre a linha horizontal, a linha de visão e a altura acima dos olhos. Se a distância horizontal é d e o ângulo é θ, essa diferença de altura é d tan θ. Para obter a altura total da estrutura, acrescenta a altura dos olhos. O resultado é uma estimativa condicionada pelas incertezas da distância, do ângulo e pelo modelo do terreno.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

A hipotenusa é sempre o lado desenhado na diagonal.

É o lado oposto ao ângulo de 90°, independentemente da orientação da figura.

Pitágoras vale em qualquer triângulo.

A igualdade a² + b² = c² exige triângulo retângulo com c como hipotenusa.

O cateto oposto tem sempre o mesmo nome.

Oposto e adjacente dependem do ângulo escolhido.

Uma escala de 3 multiplica a área por 3.

Multiplica comprimentos por 3 e áreas por 9.