Vectores y movimiento en una dimensión

Magnitudes que necesitan orientación

Una masa de 2 kg o una duración de 6 s queda determinada por valor y unidad: son escalares. Un desplazamiento de 6 m necesita orientación: ¿hacia dónde ocurrió? Desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza son vectores. Un vector tiene módulo, dirección y sentido. La dirección puede ser horizontal; los dos sentidos de esa dirección pueden ser derecha e izquierda.

Representamos vectores mediante flechas. La longitud de la flecha, en una escala declarada, representa el módulo; la punta representa el sentido. En una recta basta elegir un eje orientado y trabajar con componentes con signo. Si positivo es hacia la derecha, v = −4 m/s significa velocidad de módulo 4 m/s hacia la izquierda.

El módulo de un vector nunca es negativo. La componente puede serlo porque depende de la orientación elegida. Invertir el eje cambia los signos de las componentes sin alterar el experimento físico. Por eso debes declarar el eje antes de usar ecuaciones, en vez de añadir signos por intuición al final.

Sumar vectores en la misma dirección

La suma vectorial puede dibujarse colocando el origen de una flecha en la punta de la anterior. La resultante une el origen inicial con la punta final. Desplazar una flecha paralelamente sin cambiar longitud y orientación permite realizar esta construcción para los vectores libres usados en esta descripción del movimiento.

En la recta, la construcción equivale a la suma algebraica de las componentes. Un desplazamiento de +9 m seguido de −4 m da +5 m. La distancia recorrida es 13 m y no es una suma vectorial: suma los módulos de los tramos. La resta A − B es la suma A + (−B); el vector −B tiene el mismo módulo y sentido opuesto a B.

Cuando los vectores dejan de ser colineales, no podemos sumar simplemente los módulos. Un desplazamiento de 3 m al este seguido de 4 m al norte tiene un módulo resultante de 5 m por el teorema de Pitágoras, no de 7 m. En esta clase el análisis dinámico se mantiene en una dimensión, pero la distinción prepara el movimiento en el plano.

Posición, velocidad y aceleración

Elige x(t) como posición en metros y t como tiempo en segundos. El desplazamiento Δx usa x final menos x inicial. La velocidad media en el intervalo es Δx/Δt. La velocidad instantánea es la tasa de variación de la posición en ese instante, representada por la pendiente de la tangente a la gráfica x(t). La rapidez instantánea es |v|.

La aceleración media es Δv/Δt. La instantánea es la tasa de variación local de la velocidad y se mide en m/s². En una gráfica v(t), la pendiente local representa aceleración. En una gráfica a(t), el área con signo proporciona la variación de velocidad. Observa la cadena: cada magnitud describe el cambio de la anterior.

Estar en x = 0 no obliga a v = 0. Tener v = 0 en un instante no obliga a a = 0: un objeto lanzado verticalmente hacia arriba para instantáneamente en el punto más alto, pero sigue acelerado por la gravedad. Una condición en un instante no equivale a una condición durante todo un intervalo.

Construir el modelo de aceleración constante

Si la aceleración a es constante, cada intervalo igual de tiempo produce la misma variación de velocidad. La definición a = (v − v₀)/Δt puede reorganizarse: v = v₀ + aΔt. v₀ es la velocidad en el instante inicial t₀; Δt = t − t₀. Solo si t₀ = 0 podemos escribir Δt simplemente como t sin perder información.

La gráfica v(t) es una recta. Su velocidad media en ese intervalo es (v₀ + v)/2, porque el área del trapecio es altura media por base. Entonces Δx = [(v₀ + v)/2]Δt. Sustituyendo v = v₀ + aΔt, obtenemos x = x₀ + v₀Δt + a(Δt)²/2.

También podemos eliminar el tiempo. Multiplicando v − v₀ = aΔt por v + v₀ y usando 2Δx = (v + v₀)Δt, resulta v² − v₀² = 2aΔx. Esta expresión es útil cuando no conocemos la duración. Las tres relaciones exigen aceleración constante; no son definiciones universales para cualquier movimiento.

La geometría de las gráficas comprueba el álgebra

Con aceleración constante no nula, x(t) es una parábola, v(t) es una recta inclinada y a(t) es una línea horizontal. El signo de a determina la concavidad de la gráfica x(t). Sin embargo, una parábola creciente puede tener a negativo: comienza a subir cada vez menos deprisa hasta alcanzar pendiente cero.

El área con signo bajo v(t) es desplazamiento. Si v cruza cero, divide el intervalo en el instante del cruce. Para la distancia, suma los módulos de las dos áreas. No tomes simplemente el módulo del área total: eso borraría el recorrido hecho antes de la inversión.

Una tabla calculada en instantes sucesivos ayuda a reconocer patrones. Con a constante y pasos de 1 s, las diferencias de v son iguales. Las diferencias de x no son iguales, pues la posición varía cuadráticamente. La gráfica no es un adorno posterior: puede mostrar un cambio de sentido que quedaría oculto en un cálculo sin interpretación.

Signos, paradas y validez

Un cuerpo frena cuando velocidad y aceleración tienen sentidos opuestos; aumenta su rapidez cuando tienen el mismo sentido. «Aceleración negativa» solo informa del sentido en el eje elegido. Un vehículo que avanza hacia la izquierda puede ganar rapidez con v y a ambas negativas.

Para encontrar una parada, resuelve v = 0. Después comprueba si el instante calculado pertenece al intervalo físico. Una ecuación con aceleración negativa puede predecir que el vehículo se mueve en sentido contrario tras parar; en un frenado real, el conductor puede cambiar la fuerza y la aceleración deja de ser la misma. El modelo debe detenerse donde cambian las condiciones.

En la caída libre cerca de la Tierra, despreciando el aire, la aceleración vertical es aproximadamente constante. Con eje positivo hacia arriba, a = −g y g = 9,8 m/s² en esta clase. La masa no entra en las ecuaciones de este modelo. Para objetos con resistencia del aire relevante, como una hoja extendida, la hipótesis no describe adecuadamente el experimento.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Un vector negativo tiene módulo negativo.

La componente puede ser negativa; el módulo siempre es no negativo.

v = v₀ + at sirve para cualquier aceleración.

La forma con el producto at exige a constante en el intervalo.

La distancia siempre es el módulo del desplazamiento.

Si hay inversión, suma por separado las longitudes de los tramos.