Una introducción a la física moderna

Un modelo puede funcionar muy bien y aun así tener límites

Las leyes de Newton permiten estudiar movimientos de objetos en muchas situaciones cotidianas. La óptica ondulatoria explica interferencia y difracción. El éxito de esos modelos no significa que cada uno describa todos los fenómenos a escala atómica o a velocidades próximas a la de la luz. Un modelo se evalúa por sus predicciones y por las condiciones en que concuerda con la experiencia.

Cuando la experiencia revela una regularidad incompatible con un modelo, necesitamos revisar sus hipótesis. Eso no convierte todos sus resultados en errores. La mecánica clásica sigue siendo una excelente aproximación para muchos movimientos macroscópicos con rapidez mucho menor que c. Una teoría más amplia debe explicar por qué funciona esa aproximación en su ámbito.

En esta clase construiremos una primera conexión entre tres áreas: física cuántica, física atómica/nuclear y relatividad especial. No son una colección de nombres misteriosos: responden a preguntas concretas. ¿Por qué ciertos metales solo emiten electrones por encima de una frecuencia de la luz? ¿Por qué los átomos producen líneas espectrales? ¿Por qué la energía de una partícula con masa no viene dada por mv²/2 cuando v se acerca a c?

Repasar energía, frecuencia y escalas microscópicas

La energía se mide en julios, J. Para procesos atómicos, el julio es una unidad muy grande comparada con las energías implicadas. Se usa frecuentemente el electronvoltio, eV: la energía correspondiente al módulo de la carga elemental al atravesar una diferencia de potencial de un voltio. La conversión es aproximadamente 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J. El eV es energía, no tensión.

La frecuencia f de una onda es el número de ciclos por segundo, en Hz. En el vacío, la radiación electromagnética obedece a c = λf, donde λ es la longitud de onda y c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s. Cuanto menor es λ, mayor es f. No confundas frecuencia con intensidad: es posible aumentar la energía total de un haz sin alterar la frecuencia, aumentando la cantidad de radiación que atraviesa un área por unidad de tiempo.

En los cálculos usaremos h ≈ 6,626 × 10⁻³⁴ J·s para la constante de Planck. Que una constante tenga un valor muy pequeño en unidades SI ayuda a comprender por qué los efectos cuánticos son más evidentes en escalas microscópicas. Las potencias de diez requieren cuidado: 1 nm = 10⁻⁹ m y 1 μm = 10⁻⁶ m.

Qué significa cuantización de la radiación

La radiación electromagnética puede intercambiar energía con la materia en cuantos llamados fotones. La energía de un fotón de frecuencia f es E = hf, o E = hc/λ en el vacío. Esta relación vincula la descripción por frecuencia con la energía de una interacción individual. El producto J·s × s⁻¹ tiene unidad de julio.

Un fotón de frecuencia mayor tiene más energía. Aumentar solo la intensidad de un haz de frecuencia fija significa, en el modelo, aumentar el número medio de fotones que llegan por unidad de tiempo y área. No aumenta la energía hf de cada uno. Si el haz transporta energía total E_haz con fotones de una misma frecuencia, el número aproximado será E_haz/(hf).

Eso no elimina la descripción ondulatoria: se siguen observando interferencia y difracción. La física cuántica predice tanto el patrón estadístico de muchos sucesos como la detección localizada de cada suceso. Las imágenes clásicas de «onda material extendida» y «bolita» son analogías limitadas. El formalismo cuántico no exige que una partícula sea literalmente una pequeña esfera que oscila como una cuerda.

El efecto fotoeléctrico: interpretar un umbral

Al iluminar una superficie adecuada, pueden emitirse electrones. En la descripción fotoeléctrica sencilla de un fotón por electrón, parte de la energía recibida es necesaria para liberar el electrón del material. Esa energía mínima se llama función de trabajo, φ, y depende de la superficie. La conservación de energía conduce a K_máx = hf − φ, cuando hf es suficiente para permitir la emisión.

El umbral de frecuencia es f₀ = φ/h. Por debajo, el cálculo hf − φ sería negativo: no significa que el electrón haya salido con energía cinética negativa. Significa que la emisión no está permitida en ese modelo. Por encima del umbral, aumentar la frecuencia aumenta la energía cinética máxima; aumentar la intensidad a frecuencia fija puede aumentar la cantidad de electrones emitidos, respetando las condiciones de la superficie y del dispositivo.

En un ensayo con potencial retardador, el módulo U_frenado necesario para impedir la llegada de los electrones más energéticos satisface eU_frenado = K_máx. No todos los electrones emitidos tienen la energía máxima, por lo que esta relación describe un extremo de la distribución. La explicación introductoria supone radiación y régimen adecuados; los fenómenos de múltiples fotones y otros detalles exigen modelos más completos.

Materia con longitud de onda y predicciones probabilísticas

La difracción no es exclusiva de la luz. Los electrones y otras partículas materiales también pueden producir patrones de interferencia. La relación de De Broglie asocia longitud de onda y momento: λ = h/p. Para una partícula de masa m y rapidez suficientemente pequeña respecto a c, podemos usar p ≈ mv; la relación del momento necesita corrección relativista a velocidades elevadas.

Una partícula macroscópica, con momento grande en unidades SI, tiene una longitud de onda extremadamente pequeña. Eso ayuda a explicar por qué normalmente no vemos una pelota difractarse al atravesar una puerta. En cambio, un electrón puede tener una longitud de onda comparable con la separación entre átomos de un cristal, permitiendo efectos observables. La comparación entre escalas importa tanto como la fórmula.

El estado cuántico permite calcular probabilidades de los resultados de mediciones. Eso no es solo falta de cuidado experimental: experimentos preparados de la misma forma producen distribuciones que la teoría predice. El principio de incertidumbre para posición y momento puede escribirse ΔxΔp ≥ h/(4π), donde Δx y Δp representan dispersiones estadísticas apropiadas. No afirma que «nada se puede saber» ni es solo una avería de un instrumento; limita la preparación simultánea de esas distribuciones.

Niveles de energía y líneas del espectro

Un átomo contiene un núcleo y electrones. La atracción eléctrica es importante para la estructura atómica, pero imaginar electrones recorriendo órbitas planetarias clásicas no describe adecuadamente todos los fenómenos. En el tratamiento cuántico, los estados electrónicos permitidos presentan energías y distribuciones espaciales características; un orbital no es una pista rígida por la que se observa circular al electrón.

Al pasar de un estado de energía más alta E_i a otro más bajo E_f, el átomo puede emitir un fotón con hf = E_i − E_f. En la absorción, la radiación puede proporcionar una diferencia de energía. Como las energías de los estados ligados no llenan un continuo arbitrario, se observan líneas asociadas a ciertas diferencias. También existen reglas de selección y otros detalles: la igualdad de energías es una condición importante, no una descripción completa de todas las probabilidades de transición.

Para los niveles del hidrógeno en un modelo introductorio, E_n ≈ −13,6 eV/n², con n entero positivo y referencia cero en el umbral de ionización. El signo negativo indica un estado ligado. El estado n = 1 es más bajo que n = 2. La fórmula predice bien una estructura básica de un átomo de un electrón, pero no debe usarse sin cambios para todos los átomos. La descripción cuántica moderna también explica aspectos que el modelo de Bohr no describe.

El núcleo y los tipos de transformación radiactiva

El núcleo contiene protones y, en los isótopos habituales salvo el hidrógeno más sencillo, neutrones. El número de protones Z identifica el elemento. El número másico A cuenta protones y neutrones; no es la masa en kilogramos. Los isótopos del mismo elemento tienen igual Z y diferente número de neutrones. Las transiciones de electrones y las transformaciones del núcleo pertenecen a escalas y mecanismos distintos.

Algunos núcleos son inestables y se transforman espontáneamente. En la emisión alfa, el núcleo emite una partícula con dos protones y dos neutrones: el núcleo residual tiene Z reducido en 2 y A reducido en 4. En la emisión beta menos, un neutrón se transforma en un protón emitiendo un electrón y un antineutrino: Z aumenta en 1 y A no cambia. El electrón beta no es simplemente un electrón que ya orbitaba el núcleo y fue arrancado de él. En la emisión gamma, el núcleo pasa a un estado de menor energía emitiendo un fotón, sin alterar Z ni A.

En las reacciones se conservan las magnitudes apropiadas del sistema completo, incluidas energía, momento y carga. Ionización significa quitar o añadir electrones a un átomo; no es lo mismo que alterar su núcleo. La radiación ionizante puede producir ionización, pero actividad, energía por suceso y efecto en un material son magnitudes diferentes. Esta clase aborda modelos, sin orientar experimentos con fuentes radiactivas.

Una ley estadística no es un reloj de cada núcleo

Para una población grande de núcleos de un radionúclido dado en el modelo de desintegración exponencial, el número esperado todavía sin transformar es N(t) = N₀e^−λt. La constante de desintegración λ es positiva y tiene unidad inversa del tiempo. El signo negativo describe la disminución de la población original. Los núcleos transformados no han dejado de existir como materia: han originado productos de desintegración.

La semivida T_1/2 satisface N(T_1/2) = N₀/2. De la relación exponencial resulta λ = ln 2/T_1/2 y N(t) = N₀(1/2)^t/T₁/₂. Tras dos semividas queda en promedio un cuarto, no cero. La ley no elige qué núcleo se transforma primero. Para poblaciones pequeñas, las fluctuaciones relativas son importantes.

La actividad A = λN mide el número esperado de transformaciones por segundo cuando λ está en s⁻¹; la unidad es becquerel, Bq. No confundas la actividad con la energía liberada por segundo, que también depende de la energía de cada suceso y de los productos. En cadenas de desintegración, los productos pueden seguir siendo inestables; una única exponencial puede no describir toda la actividad medida. Especifica siempre qué población y qué proceso se han modelizado.

Sistemas de referencia, velocidad de la luz y energía de reposo

La relatividad especial parte de la equivalencia de las leyes físicas en sistemas de referencia inerciales y de la invariancia de la rapidez de la luz en el vacío, c, para esos observadores. Un sistema de referencia inercial es aquel en el que un cuerpo sin fuerza resultante tiene movimiento rectilíneo uniforme. La teoría describe mediciones de espacio y tiempo entre observadores; no afirma que todas las afirmaciones sean relativas ni que pueda elegirse cualquier valor.

La comparación de relojes y longitudes implica definir los sucesos y la simultaneidad en cada sistema de referencia. Una consecuencia es el factor γ = 1/√(1 − v²/c²). Para una partícula con masa de reposo m, la energía total de partícula libre es E = γmc², la energía de reposo es E₀ = mc² y la energía cinética es K = (γ − 1)mc². Cuando v es mucho menor que c, la aproximación recupera K ≈ mv²/2.

Cuando v se acerca a c, γ crece sin límite; una partícula con masa no puede acelerarse hasta c mediante un suministro finito de energía. Un fotón tiene masa de reposo nula y energía E = pc: no debe sustituirse m = 0 en γmc² con v = c, pues allí la expresión de γ no es finita. Las fórmulas necesitan su ámbito, igual que en álgebra.

Qué cambia en una reacción que libera energía

La masa de reposo de un sistema está vinculada a su energía en el sistema de referencia donde el momento total es cero. Si un conjunto pierde energía hacia el exterior, la masa del sistema restante puede disminuir. En física nuclear, una diferencia entre las masas de reposo totales de reactivos y productos puede corresponder a energía cinética y radiación: Q de la reacción = (m inicial − m final)c², incluyendo correctamente todas las partículas relevantes.

No es correcto decir solo que «la masa desaparece» y olvidar la energía que salió. El balance del sistema completo sigue conservando energía y momento. Tampoco puede transformarse arbitrariamente toda la masa de un objeto en energía útil en un dispositivo: que mc² sea grande no describe un mecanismo disponible ni un rendimiento.

Estas ideas conectan temas ya estudiados. El fotón transporta energía y momento; el núcleo puede emitir un fotón y retroceder; una transición debe respetar el balance del sistema. Comprender los principios prepara el estudio posterior de las ecuaciones cuánticas y relativistas. Aquí buscamos una base conceptual y cálculos introductorios, sin presentar una teoría completa en pocas páginas.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Una teoría nueva vuelve inútil todo lo anterior.

Los modelos clásicos siguen siendo útiles en los regímenes en que son buenas aproximaciones; las teorías ampliadas explican sus límites.

Más intensidad da más energía a cada fotón.

La energía individual depende de la frecuencia. La intensidad puede cambiar el número medio de fotones incidentes.

Un orbital es una órbita planetaria dibujada con poca precisión.

Un estado electrónico cuántico describe energías y distribuciones de probabilidad; no es simplemente una trayectoria clásica desconocida.

Tras dos semividas la muestra original desaparece.

El valor esperado restante es un cuarto. La ley describe la población de un radionúclido y admite fluctuaciones estadísticas.

La actividad mide directamente toda la energía o todo el efecto de la radiación.

El becquerel mide transformaciones por segundo. Energía por suceso, productos, material y geometría son informaciones adicionales.

E = mc² significa que la energía cinética siempre es mc².

mc² es energía de reposo. Para una partícula libre con masa, E total = γmc² y K = (γ − 1)mc².