Exponenciales y logaritmos

Repaso: exponentes, raíces y porcentajes

Para un entero n positivo, aⁿ es un producto de n factores iguales. Para a ≠ 0, definimos a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1/aⁿ para conservar las leyes de las potencias. Si a > 0, los exponentes racionales también tienen interpretación mediante raíces: a^1/2 = √a y a^2/3 = (∛a)². La base positiva permite extender la potencia a todos los exponentes reales.

Las reglas a^x+y = aˣaʸ y (aˣ)ʸ = a^xy expresan la estructura multiplicativa. No autorizan aˣ + aʸ = a^x+y. Por ejemplo, 3² + 3³ = 36, mientras que 3⁵ = 243. Identifica siempre si la operación entre potencias es suma, producto o cociente.

Una tasa de aumento p, escrita en forma decimal, corresponde al factor 1 + p. Aumentar 8% usa 1,08; disminuir 8% usa 0,92. Si el valor inicial es Q₀ y el factor por período es q, después de n períodos Qₙ = Q₀qⁿ. El exponente cuenta períodos completos a partir del instante inicial n = 0, no el orden en una lista que empieza en 1.

Una variable en el exponente

La función exponencial básica es f(x) = aˣ, con a > 0 y a ≠ 1, definida para todo x real. Si a > 1, es estrictamente creciente; si 0 < a < 1, es estrictamente decreciente. Los valores son siempre positivos, la imagen es ]0, +∞[ y f(0) = 1. El eje horizontal es una asíntota: la función puede acercarse a cero sin alcanzarlo.

La expresión x³ es una función potencia, no exponencial: en ella la variable está en la base. La expresión (−2)ˣ no define una función real para todos los x, pues, por ejemplo, x = 1/2 exigiría una raíz cuadrada de un número negativo. La base 1 daría la función constante 1, sin una inversa logarítmica que distinguiera exponentes.

Un modelo Q(t) = Q₀aᵗ, con Q₀ > 0, multiplica el valor por a cada vez que t aumenta una unidad. Si la variable tiempo se mide en horas, la unidad del exponente debe entenderse como número de períodos de una hora. Una forma dimensional más explícita es Q(t) = Q₀a^t/τ, donde τ es la duración del período en la misma unidad que t.

La pregunta inversa: ¿cuál es el exponente?

Para a > 0, a ≠ 1 e y > 0, se define log_a y como el único número x tal que aˣ = y. La unicidad procede de la monotonía de la exponencial: una misma salida positiva no puede corresponder a dos exponentes distintos. El logaritmo no es una división entre a; es el exponente buscado.

Por ejemplo, log₂ 32 = 5 porque 2⁵ = 32; log₄(1/16) = −2 porque 4⁻² = 1/16. Tenemos log_a 1 = 0 y log_a a = 1. Las identidades inversas son log_a(aˣ) = x para todo real x y a^{logₐ y} = y para y > 0.

La función logarítmica tiene dominio ]0, +∞[ e imagen ℝ. Intercambiar entrada y salida refleja las gráficas de la exponencial y de su logaritmo respecto a la recta y = x. Para base mayor que 1, el logaritmo crece; para base entre 0 y 1, decrece. El argumento no puede ser cero ni negativo dentro de los números reales, porque ninguna potencia de base positiva produce esos valores.

Por qué los productos se convierten en sumas

Si u y v son positivos, escribe u = aʳ y v = aˢ. Entonces uv = a^r+s, por lo que log_a(uv) = r + s = log_a u + log_a v. El mismo razonamiento con división da log_a(u/v) = log_a u − log_a v. Para u > 0 y k real, log_a(uᵏ) = k log_a u.

Estas propiedades proceden de las operaciones con exponentes. No existe una regla general que transforme log(u + v) en log u + log v. Basta un contraejemplo: en base 10, log(10 + 10) = log 20 ≈ 1,3010, mientras que log 10 + log 10 = 2. Aplicar una propiedad al tipo de operación equivocado cambia el valor.

El cambio de base permite calcular log_a y = ln y/ln a, donde ln es el logaritmo de base e, aproximadamente 2,71828. También puedes usar logaritmos de base 10 en numerador y denominador. La fórmula resulta de y = aˣ y de aplicar un logaritmo común a los dos miembros: log y = x log a. Como a ≠ 1, el denominador no es cero.

Resolver ecuaciones y conservar el dominio

Si dos potencias tienen la misma base positiva diferente de 1, aˣ = aʸ implica x = y. Por ejemplo, 5^2x−1 = 125 = 5³ da 2x − 1 = 3, por tanto x = 2. Si no hay una base común conveniente, aplicamos logaritmos a los dos miembros positivos y despejamos la incógnita en el exponente.

Para ecuaciones con logaritmos, registra las condiciones de los argumentos antes de combinar expresiones. En log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3, necesitamos x > 3. La regla del producto da log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3, por tanto (x − 1)(x − 3) = 8. La ecuación cuadrática puede producir candidatos fuera del dominio original; deben rechazarse.

En inecuaciones, la monotonía decide si el orden se conserva. Aplicar un logaritmo de base mayor que 1 conserva el orden entre argumentos positivos; una base entre 0 y 1 lo invierte. El mismo cuidado aparece al dividir entre ln a, que es negativo cuando 0 < a < 1. Verificar valores de prueba ayuda a comprobar el sentido del intervalo obtenido.

Tiempo de duplicación, decrecimiento y límites

Si Q(t) = Q₀aᵗ y a > 1, el tiempo T de duplicación satisface Q(t + T)/Q(t) = aᵀ = 2. Por tanto T = ln 2/ln a. No depende del instante inicial t dentro de este modelo, porque el factor por período es constante. Si 0 < a < 1, el tiempo de reducción a la mitad satisface aᵀ = 1/2 y es T = ln(1/2)/ln a, positivo al dividir dos números negativos.

Para Q(t) = Q₀e^kt, el producto kt debe ser adimensional: si t está en días, k tiene unidad día⁻¹. k > 0 da crecimiento y k < 0 da decrecimiento. Esta expresión continua es útil, pero no demuestra que un proceso real crezca sin límites. Los recursos, las condiciones ambientales o los cambios de régimen pueden invalidar el modelo.

Una respuesta para el tiempo puede necesitar un redondeo contextual. Si un conteo solo se observa al final de períodos enteros y el umbral se supera en t ≈ 4,2, el primer registro entero por encima del umbral será en el período 5. No redondees simplemente a 4 si la pregunta exige el primer período que satisface la condición.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

El logaritmo es una fracción entre argumento y base.

Es el exponente que la base necesita tener para producir el argumento.

log(u + v) = log u + log v.

La suma de logaritmos corresponde al logaritmo de un producto de argumentos positivos.

Todos los candidatos algebraicos sirven en una ecuación logarítmica.

Cada argumento original debe seguir siendo estrictamente positivo.

Las bases exponenciales entre cero y uno conservan el orden de los exponentes.

Son decrecientes e invierten esa comparación.