Geometría analítica en el plano

Repasar coordenadas y elegir una escala

En un sistema de referencia cartesiano ortonormal, los ejes son perpendiculares y usan la misma unidad de longitud. La palabra ortonormal es importante: las fórmulas métricas habituales presuponen esa geometría. Si una gráfica usa escalas visuales diferentes en los ejes, puede representar correctamente las coordenadas, pero las longitudes y los ángulos aparentes quedan distorsionados.

El punto A = (−2, 4) tiene abscisa −2 y ordenada 4. El desplazamiento de A a B = (3, 1) tiene componentes 3 − (−2) = 5 en la horizontal y 1 − 4 = −3 en la vertical. Las componentes pueden ser negativas porque indican sentido; la distancia entre los puntos es una longitud y no puede ser negativa.

Para problemas de localización, elige origen, ejes y unidad antes de escribir números. Un mapa puede usar kilómetros, un plano puede usar metros. La elección del sistema de referencia cambia las coordenadas, pero no cambia la distancia geométrica entre dos puntos cuando la transformación conserva longitudes. Una buena elección simplifica los cálculos sin alterar el problema.

Deducir la distancia y el punto medio

Si A = (x₁, y₁) y B = (x₂, y₂), las proyecciones horizontal y vertical forman un triángulo rectángulo con catetos de longitudes |x₂ − x₁| y |y₂ − y₁|. Por el teorema de Pitágoras, la distancia es:

Los cuadrados hacen que intercambiar A y B no altere el resultado: d(A, B) = d(B, A). Si la distancia es cero, las dos diferencias deben ser cero y los puntos coinciden. Restar las coordenadas en el mismo orden en ambas componentes evita confusiones, aunque los cuadrados eliminen el signo en el resultado final.

El punto medio M divide el segmento en dos partes iguales y tiene coordenadas M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Cada coordenada es la media de las coordenadas correspondientes. Para A = (−2, 4) y B = (3, 1), M = (0,5; 2,5), usando punto y coma para separar coordenadas con coma decimal. La diferencia de A a M es la mitad de la diferencia de A a B, lo que justifica la fórmula y la igualdad de las dos distancias.

Ecuaciones de rectas: más de una forma

Una recta no vertical que pasa por A = (x₀, y₀) y tiene pendiente m satisface y − y₀ = m(x − x₀). La idea es que todos los desplazamientos a lo largo de la recta tienen la misma razón entre cambio vertical y horizontal. Con dos puntos de abscisas diferentes, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). El denominador muestra por qué una recta vertical no tiene pendiente definida.

Desarrollar la forma anterior permite obtener y = mx + p. Para comprobar si un punto pertenece a la recta, sustituye sus dos coordenadas en la ecuación. Un único punto no determina una recta, pues hay infinitas direcciones posibles; dos puntos distintos la determinan. Si las abscisas de ambos son iguales, la ecuación es x = x₀.

La forma general Ax + By + C = 0, con A y B no simultáneamente nulos, incluye también rectas verticales. Si B ≠ 0, despejar y da pendiente −A/B. Si B = 0, tenemos x = −C/A. Multiplicar toda la ecuación por una constante no nula no altera la recta; por ejemplo, 2x + y − 3 = 0 y 4x + 2y − 6 = 0 representan el mismo conjunto de puntos.

Paralelas, perpendiculares e intersecciones

Dos rectas no verticales son paralelas cuando tienen la misma pendiente; si las ordenadas en el origen también coinciden, son la misma recta. Dos verticales distintas son paralelas. Las rectas no paralelas se cruzan en un único punto, que satisface las dos ecuaciones al mismo tiempo. Encontrar ese punto es resolver un sistema lineal.

Para dos rectas no verticales perpendiculares, las pendientes satisfacen m₁m₂ = −1. Una forma de entender el signo es girar una dirección (1, m) 90°: se convierte en (−m, 1), cuya pendiente, para m ≠ 0, es −1/m. Una recta horizontal y una vertical también son perpendiculares, pero ese caso no permite usar el producto de dos pendientes definidas.

No concluyas perpendicularidad solo por el dibujo: las escalas diferentes pueden hacer que un ángulo recto parezca oblicuo. Por ejemplo, una recta de pendiente 2 es perpendicular a otra de pendiente −1/2, no a una de pendiente −2. El inverso y el signo negativo desempeñan ambos un papel. Para construir la perpendicular por un punto, determina primero la nueva pendiente y después usa la forma punto–pendiente.

La circunferencia como lugar geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisface una condición. La circunferencia de centro C = (h, k) y radio r > 0 reúne los puntos P cuya distancia a C es r. Aplicar la fórmula de la distancia y elevar al cuadrado da:

La igualdad describe la frontera. La desigualdad ≤ r² describe el disco cerrado, que incluye interior y frontera; la desigualdad < r² describe solo el interior. En la ecuación (x + 2)² + (y − 3)² = 25, el centro es (−2, 3) y el radio es 5. El número del segundo miembro es el cuadrado del radio, no el radio.

Podemos recuperar el centro de una ecuación desarrollada completando cuadrados. En x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0, tenemos (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0; por tanto (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Centro (3, −2), radio 5. Si el segundo miembro final fuera negativo, no habría puntos reales; si fuera cero, habría solo el centro, una situación degenerada.

La elipse: una condición de distancia que produce una ecuación

Una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante. Empieza con focos F₁ = (−c,0) y F₂ = (c,0), con c ≥ 0, y suma de distancias 2a, con a > c. El centro es el origen. El eje mayor mide 2a; escribimos b² = a² − c², con b > 0. Aquí c es la distancia del centro a un foco, no el término independiente de una recta.

Podemos deducir la ecuación. Para P = (x,y), llama r₁ y r₂ a las distancias a los focos. Tenemos r₁ + r₂ = 2a. Por la fórmula de la distancia, r₁² − r₂² = (x + c)² − (x − c)² = 4cx. Factorizando la diferencia de cuadrados, (r₁ − r₂)(r₁ + r₂) = 4cx, por tanto r₁ − r₂ = 2cx/a. Sumando las dos relaciones y dividiendo entre 2, r₁ = a + cx/a.

Ahora r₁² = (x + c)² + y² da a² + 2cx + c²x²/a² = x² + 2cx + c² + y². Cancelamos 2cx y reorganizamos: a² − c² = x²(1 − c²/a²) + y². Usando b² = a² − c² y dividiendo entre b², llegamos a x²/a² + y²/b² = 1. Las longitudes y las condiciones a > c garantizan que b² es positivo.

Los vértices del eje mayor están en (±a,0) y los extremos del menor en (0,±b). Si el eje mayor es vertical, el término con a² queda asociado a y². Por ejemplo, x²/9 + y²/25 = 1 tiene semieje mayor 5 en la vertical, semieje menor 3 y focos (0,±4). El mayor denominador no tiene por qué estar bajo x.

Para centro (x₀,y₀), sustituimos x por x − x₀ e y por y − y₀. La elipse (x − 2)²/25 + (y + 1)²/9 = 1 tiene centro (2,−1), semiejes 5 y 3 y c = √(25 − 9) = 4. Los focos son (−2,−1) y (6,−1). Al comprobar un punto, sustituye las dos coordenadas y comprueba la igualdad, en vez de juzgar solo por la apariencia de una figura.

Una circunferencia es el caso en que a = b y los dos focos coinciden en el centro. Una elipse dibujada con escalas diferentes en los dos ejes puede parecer más o menos alargada de lo que realmente es. Los valores geométricos deben obtenerse de la ecuación y de la escala, no de una impresión visual.

Conjuntos de puntos y resolución de problemas

Una recta y una circunferencia pueden no tener puntos comunes, tocarse en un solo punto o cruzarse en dos. Sustituir la expresión de la recta en la ecuación de la circunferencia produce una ecuación cuadrática; el número de soluciones reales expresa esas tres posibilidades. Después de encontrar una coordenada, calcula la otra y comprueba los pares en las dos ecuaciones.

Otro lugar geométrico útil es el conjunto de puntos equidistantes de A y B, con A ≠ B. La condición d(P, A) = d(P, B), después de elevarla al cuadrado, permite cancelar x² e y² y produce una recta: la mediatriz del segmento AB. Geométricamente, esa recta pasa por el punto medio y es perpendicular al segmento. El álgebra y la geometría confirman la misma descripción.

Al resolver una situación, decide si buscas un punto, una distancia, una recta o una región. Una ecuación puede describir infinitos puntos, mientras que un sistema puede seleccionar algunos de ellos. La respuesta debe respetar esa diferencia: presentar solo la abscisa no identifica un punto, y presentar solo un dibujo no verifica una condición numérica. Las unidades finales dependen de la magnitud solicitada.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Restar coordenadas puede dar una distancia negativa.

Las diferencias orientadas pueden ser negativas; la distancia usa cuadrados y raíz no negativa.

Dos rectas perpendiculares tienen pendientes opuestas.

Para pendientes definidas y no nulas, son inversas con signo contrario, no solo opuestas.

En una ecuación de circunferencia, el segundo miembro es el radio.

Es r²; se debe tomar la raíz positiva para obtener r.

Circunferencia y disco son el mismo conjunto.

La circunferencia es la frontera; el disco incluye puntos interiores.