Del triángulo al círculo trigonométrico

Repaso: razones que conservan el ángulo

En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo θ, sen θ es cateto opuesto entre hipotenusa, cos θ es cateto adyacente entre hipotenusa y tan θ es opuesto entre adyacente. Dos triángulos rectángulos con el mismo θ son semejantes; por eso las razones no dependen del tamaño. Esta independencia permite asignar números trigonométricos al propio ángulo.

Si los catetos miden 8 y 15 y la hipotenusa mide 17, para el ángulo opuesto al lado 8 tenemos sen θ = 8/17, cos θ = 15/17 y tan θ = 8/15. Pitágoras confirma 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Cambiar de ángulo intercambia los papeles de los catetos, pero no cambia la hipotenusa.

El triángulo rectángulo habitual solo presenta ángulos agudos, aunque podamos girar una dirección 120°, −45° o varias vueltas. Para estudiar esos casos necesitamos un modelo que admita coordenadas negativas y rotaciones orientadas. Ese modelo es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.

Rotaciones y la definición de radián

Un ángulo orientado empieza en una semirrecta inicial y termina en otra después de una rotación. En el plano cartesiano usamos como inicio el semieje positivo de x. El sentido contrario a las agujas del reloj es positivo; el sentido horario es negativo. Una vuelta completa mide 360°, pero esa división en grados es una convención humana.

El radián nace de la geometría: si un arco de longitud s en una circunferencia de radio r subtiende un ángulo central θ, se define la medida en radianes por θ = s/r. Como las dos longitudes usan la misma unidad, el cociente es adimensional. Podemos escribir «rad» para recordar la convención angular, especialmente en aplicaciones físicas.

Una vuelta tiene longitud 2πr, por tanto mide 2π rad. Por ello 180° = π rad y 90° = π/2 rad. Para convertir grados a radianes multiplica por π/180; en sentido inverso multiplica por 180/π. La fórmula s = rθ exige θ en radianes. Usar un valor numérico en grados en esa fórmula sin conversión produce una escala incorrecta.

Coordenadas como seno y coseno

En la circunferencia unitaria x² + y² = 1, gira una semirrecta un ángulo θ a partir del semieje positivo de x y llama P al punto donde encuentra la circunferencia. Se define cos θ como la abscisa de P y sen θ como la ordenada. El orden del par es, por tanto, P = (cos θ, sen θ).

En el primer cuadrante, trazar una perpendicular hasta el eje x forma un triángulo rectángulo de hipotenusa 1. Las coordenadas coinciden con las razones del triángulo: adyacente/1 y opuesto/1. Así, la nueva definición prolonga la anterior sin contradecirla. En los otros cuadrantes, las coordenadas proporcionan los signos que las longitudes de catetos no podrían proporcionar.

Cuadrantes, ángulos de referencia y vueltas

En el primer cuadrante, seno y coseno son positivos. En el segundo, el seno es positivo y el coseno negativo. En el tercero, ambos son negativos. En el cuarto, el seno es negativo y el coseno positivo. Podemos recuperar estos signos pensando solo en arriba/abajo e izquierda/derecha, sin necesidad de memorizar una frase auxiliar.

Los ángulos que difieren en una vuelta entera terminan en el mismo punto. Así, sen(θ + 2kπ) = sen θ y cos(θ + 2kπ) = cos θ para todo entero k. Por ejemplo, 390° y 30° difieren en 360° y tienen las mismas coordenadas. Eso no significa que las rotaciones recorridas sean iguales; significa que el punto final coincide.

El ángulo de referencia es el ángulo agudo formado con el eje horizontal, cuando el lado final no está en un eje. Para 150°, la referencia es 30°: el punto está a la izquierda y arriba, por tanto sen 150° = sen 30° y cos 150° = −cos 30°. La reflexión en el eje x da sen(−θ) = −sen θ y cos(−θ) = cos θ. Los signos son consecuencia de las simetrías.

Construir valores exactos e identidades

Un triángulo rectángulo isósceles con catetos 1 tiene hipotenusa √2; por tanto sen 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2. Para 30° y 60°, corta por la mitad un triángulo equilátero de lado 2: obtienes hipotenusa 2, cateto menor 1 y altura √3. De ahí sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sen 60° = √3/2 y cos 60° = 1/2.

En los ejes, las coordenadas dan directamente cos 0 = 1 y sen 0 = 0; cos(π/2) = 0 y sen(π/2) = 1; cos π = −1 y sen π = 0. Estos valores forman parte de la definición en la circunferencia, sin necesitar un triángulo con cateto positivo en cada dirección.

Sustituir x = cos θ e y = sen θ en x² + y² = 1 da cos² θ + sen² θ = 1. La expresión sen² θ significa (sen θ)², no sen(θ²). Se define tan θ = sen θ/cos θ cuando cos θ ≠ 0. Por eso la tangente no existe en θ = π/2 + kπ, para k entero. La identidad no autoriza ignorar el signo al recuperar seno o coseno de un cuadrado.

De la circunferencia unitaria a un radio cualquiera

Si la circunferencia tiene radio r y centro en el origen, un punto de ángulo θ tiene coordenadas (r cos θ, r sen θ). Es una ampliación de la circunferencia unitaria por el factor r. Para r = 10 m y θ = 60°, obtenemos x = 5 m e y = 5√3 m. La distancia al origen confirma √(25 + 75) = 10 m.

El área de un sector circular también sigue la fracción de vuelta: A = (θ/(2π))πr² = r²θ/2, con θ en radianes para la expresión final. Un ángulo de π/3 representa un sexto de vuelta, por eso su arco mide un sexto del perímetro y el sector ocupa un sexto del área del disco.

Para cálculos aproximados, comprueba el modo DEG o RAD de la calculadora. sen(30°) = 0,5, pero sen(30 rad) no es 0,5. Mantén π en las respuestas exactas siempre que sea posible; redondear π antes de terminar introduce un error innecesario. Si la información incluye un cuadrante, úsala para elegir el signo de la raíz al aplicar la identidad fundamental.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Radianes es otro nombre para grados.

Son otra medida de la misma apertura; una vuelta vale 360° o 2π rad.

El punto de la circunferencia es (seno, coseno).

El orden cartesiano es (coseno, seno).

Una raíz positiva sirve siempre al recuperar el coseno.

El cuadrante decide si el coseno es positivo o negativo.

La tangente existe en todos los ángulos.

Es un cociente y exige coseno distinto de cero.