Semejanza, Pitágoras y trigonometría

Bases: ángulos, lados y proporcionalidad

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos interiores, cuya suma, en la geometría plana euclidiana, es 180°. Si un ángulo mide 90°, el triángulo es rectángulo. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa; es el mayor lado. Los otros dos son catetos. La hipotenusa no depende de dónde colocamos el papel ni de que el lado parezca inclinado en el dibujo.

Una razón compara dos cantidades mediante una división. Para longitudes medidas en la misma unidad, la razón es un número sin unidad: 6 cm/3 cm = 2. Una proporción afirma que dos razones son iguales. En 6/3 = 10/5, los dos pares tienen el mismo factor de escala. Si a/b = c/d y b,d ≠ 0, multiplicar por los denominadores permite ad = bc.

Dibuja siempre antes de calcular. Marca el ángulo recto, los datos, la incógnita y las unidades. Un dibujo ayuda a organizar información, pero no demuestra que dos lados sean iguales o que un ángulo sea recto; esas propiedades deben proceder de los datos o de un argumento. Si la figura no está a escala, confiar en el aspecto puede ser especialmente engañoso.

Semejanza: conservar la forma, cambiar el tamaño

Dos triángulos son semejantes cuando los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. La correspondencia es esencial: el lado entre los ángulos A y B debe compararse con el lado entre los ángulos correspondientes A′ y B′. Escribir los vértices en el orden correcto evita mezclar lados que desempeñan papeles diferentes.

En triángulos, basta conocer dos ángulos correspondientes iguales: el tercero también coincide por la suma de 180°, y la forma queda determinada. También podemos justificar la semejanza mediante tres pares de lados proporcionales, o mediante dos pares proporcionales y la igualdad del ángulo comprendido entre esos lados. La igualdad de un solo ángulo no basta.

Si el factor de escala de un triángulo a otro es k > 0, cada longitud y el perímetro se multiplican por k. El área se multiplica por k², porque la base y la altura son ambas longitudes. Un dibujo ampliado con k = 3 tiene lados tres veces mayores y un área nueve veces mayor. La semejanza conserva la forma, pero no conserva el área ni transforma una figura en otra del mismo tamaño.

Por qué aparece la suma de los cuadrados

En un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, el teorema de Pitágoras afirma a² + b² = c². Podemos comprender la igualdad mediante áreas. Coloca cuatro copias de ese triángulo dentro de un cuadrado de lado a + b, dejando en el centro un cuadrado de lado c. El área total es (a + b)²; la suma de las cuatro áreas triangulares es 4(ab/2) = 2ab.

El área central vale, por tanto, (a + b)² − 2ab = a² + b², pero también es c². De ahí la relación. Esta explicación depende del ángulo recto y de la construcción del cuadrado central. No se aplica automáticamente a un triángulo oblicuángulo, en el que no tenemos la misma disposición geométrica.

Para encontrar la hipotenusa calculamos c = √(a² + b²), eligiendo la raíz positiva porque es una longitud. Para encontrar un cateto, por ejemplo a, usamos a = √(c² − b²). Restar exige que c sea la hipotenusa. El recíproco también se cumple: si el cuadrado del mayor lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, el triángulo es rectángulo.

La altura a la hipotenusa y las relaciones métricas

Considera un triángulo ABC rectángulo en C. Llamaremos c a la longitud de la hipotenusa AB, b al cateto AC y a al cateto BC. Traza la altura CH a la hipotenusa: H pertenece a AB, CH es perpendicular a AB y su longitud es h. Las partes de la hipotenusa son AH = p y HB = q; por tanto c = p + q. Las letras designan longitudes positivas en este dibujo.

Los dos triángulos menores son semejantes al original: cada uno tiene un ángulo recto y comparte un ángulo agudo con él. En el triángulo AHC y en el original ABC, comparar lados correspondientes da b/c = p/b. Multiplicando por bc, obtenemos b² = cp. Del mismo modo, en el lado de B, a² = cq. Cada cateto al cuadrado es la hipotenusa multiplicada por la proyección de ese cateto sobre ella.

Podemos deducir la relación de la altura usando el pequeño triángulo AHC: h² = b² − p². Como b² = cp y c = p + q, queda h² = p(p + q) − p² = pq. Por tanto, h² = pq. Sumando las relaciones de los catetos, a² + b² = c(p + q) = c², recuperamos Pitágoras. No son tres reglas independientes para memorizar: las mismas semejanzas las relacionan.

Ejemplo: si p = 9 cm y q = 16 cm, entonces c = 25 cm. La altura es √(9 × 16) = 12 cm. Los catetos son b = √(25 × 9) = 15 cm y a = √(25 × 16) = 20 cm. Comprueba: 15² + 20² = 625 = 25². Las unidades también concuerdan: el producto de dos longitudes da longitud al cuadrado.

Estas relaciones exigen un triángulo rectángulo y la altura trazada a su hipotenusa. Una altura cualquiera en un triángulo oblicuángulo no puede introducirse automáticamente en h² = pq. Haz el dibujo, identifica el ángulo recto y solo después asocia cada proyección con su correspondiente cateto.

Seno, coseno y tangente: razones de un ángulo

Elige un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo. El cateto opuesto no toca ese ángulo; el cateto adyacente lo toca y no es la hipotenusa. Si cambias al otro ángulo agudo, los dos catetos intercambian sus papeles. La hipotenusa sigue siendo la misma. Esta identificación debe hacerse antes de elegir una fórmula.

¿Por qué estas razones dependen solo del ángulo y no del tamaño del triángulo? Dos triángulos rectángulos con el mismo θ también tienen el mismo tercer ángulo; son semejantes. Multiplicar todos los lados por k multiplica el numerador y el denominador por el mismo factor, que se cancela. La trigonometría es, así, una forma de organizar la proporcionalidad.

El seno y el coseno de un ángulo agudo están entre 0 y 1, porque un cateto es menor que la hipotenusa. La tangente puede superar 1. La relación tan θ = sen θ/cos θ resulta de dividir las dos razones. Para medir longitudes usa los lados en la misma unidad; seno, coseno y tangente son razones sin unidad.

Leer un triángulo por varios caminos

Las medidas verifican 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Para el ángulo marcado, sen θ = 5/13, cos θ = 12/13 y tan θ = 5/12. No necesitamos calcular el ángulo para conocer estas razones exactas. Si duplicamos el dibujo, los lados se convierten en 10, 24 y 26; cada razón se mantiene.

Para recuperar θ a partir de la tangente usamos la operación inversa arctan: θ = arctan(5/12) ≈ 22,62°. Comprueba el modo de la calculadora: en esta lección los ángulos numéricos con símbolo ° están en grados. El valor arctan(5/12) en radianes sería otro número que representa la misma abertura. Redondear la razón demasiado pronto reduce la precisión del ángulo.

Elegir una relación y examinar las hipótesis

Si conoces dos lados de un triángulo rectángulo y buscas el tercero, Pitágoras suele ser suficiente. Si conoces un ángulo agudo y un lado, una razón trigonométrica los relaciona con el lado buscado. Si comparas dos figuras de la misma forma, la semejanza puede evitar calcular cualquier ángulo. La elección depende de la información disponible, no de la fórmula más reciente que hayas estudiado.

Para estimar la altura de una estructura mediante sombras, los rayos solares deben poder tratarse como paralelos, el suelo debe ser aproximadamente plano y las mediciones simultáneas. Una vara vertical y la estructura vertical producen entonces triángulos semejantes. Si el terreno tiene inclinaciones diferentes, la proporción sencilla deja de estar justificada.

En una medición por ángulo de elevación, el observador forma un triángulo entre la línea horizontal, la línea de visión y la altura por encima de los ojos. Si la distancia horizontal es d y el ángulo es θ, esa diferencia de altura es d tan θ. Para obtener la altura total de la estructura, añade la altura de los ojos. El resultado es una estimación condicionada por las incertidumbres de la distancia, del ángulo y por el modelo del terreno.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

La hipotenusa siempre es el lado dibujado en diagonal.

Es el lado opuesto al ángulo de 90°, independientemente de la orientación de la figura.

Pitágoras se cumple en cualquier triángulo.

La igualdad a² + b² = c² exige un triángulo rectángulo con c como hipotenusa.

El cateto opuesto siempre tiene el mismo nombre.

Opuesto y adyacente dependen del ángulo elegido.

Una escala de 3 multiplica el área por 3.

Multiplica las longitudes por 3 y las áreas por 9.