Funciones afines y cuadráticas

Repaso: salida, diferencia y tasa

Una función asocia cada entrada admisible a una salida. Para dos entradas x₁ y x₂ distintas, la tasa media es [f(x₂) − f(x₁)]/(x₂ − x₁). El cociente distingue un cambio total de un cambio por unidad de entrada. Si un coste aumenta 600 Kz cuando la cantidad aumenta tres unidades, la tasa media es 200 Kz por unidad.

Sustituir un valor y resolver una condición son tareas diferentes. Para C(n) = 200n + 500, C(4) = 1300 calcula el coste de cuatro unidades. Resolver C(n) = 1300 busca la cantidad correspondiente y da n = 4. Una gráfica reúne estos pares, pero la interpretación depende de los ejes y de las unidades.

Una comparación exige el mismo significado para las variables. No podemos comparar directamente una función de coste diario con otra de coste mensual sin armonizar la entrada y la salida. Antes de los cálculos, escribe qué mide x, qué mide y y qué valores de x tienen sentido. Esta disciplina hace comprensibles los parámetros.

La función afín y el significado de la pendiente

Una función afín se escribe f(x) = mx + p, con m y p reales. El parámetro p = f(0) es la ordenada en el origen. Para cualesquiera entradas distintas a y b, [f(b) − f(a)]/(b − a) = [m(b − a)]/(b − a) = m. Así, m es la tasa de variación constante y la gráfica es una recta. Si p = 0, la función también es de proporcionalidad directa, frecuentemente llamada lineal en esta convención.

Si m > 0, la recta es creciente; si m < 0, es decreciente; si m = 0, la función es constante. Para m ≠ 0, el cero resuelve mx + p = 0, por tanto x = −p/m. Una recta vertical, x = a, no es la gráfica de una función y de x, pues la misma abscisa admite varias ordenadas.

Los coeficientes tienen significado contextual. En C(n) = 150n + 800, con C en Kz y n en unidades, 800 Kz es un coste fijo y 150 Kz/unidad es el coste por unidad adicional. Una ordenada en el origen puede ser una extrapolación sin sentido físico si cero no pertenece al dominio real de la situación; léela siempre a la luz del modelo.

La variación cuadrática y las diferencias segundas

En una cuadrática f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, la tasa media entre x y x + h es a(2x + h) + b, para h ≠ 0. Basta desarrollar f(x + h) − f(x) y dividir entre h. La presencia de x muestra por qué no existe una pendiente constante para toda la parábola. El coeficiente a no desempeña el mismo papel que m en una recta.

Para pasos iguales de tamaño h, las primeras diferencias varían y las diferencias entre esas diferencias son constantes, iguales a 2ah². En f(x) = x², para x = 0, 1, 2, 3, las salidas son 0, 1, 4, 9; las primeras diferencias son 1, 3, 5 y las segundas son 2, 2. Este patrón ayuda a reconocer datos compatibles con un modelo cuadrático.

Compatible no significa demostrado para todas las entradas. Pocos puntos pueden pertenecer a varias curvas; los datos medidos incluyen errores. Para una magnitud de salida en m² y entrada en m, el coeficiente de x² puede ser adimensional, mientras que los coeficientes de los otros términos necesitan las unidades necesarias para que todos los sumandos sean áreas. No se suman magnitudes de dimensiones incompatibles.

Transformaciones y forma canónica

La expresión f(x) = a(x − h)² + k muestra una parábola de referencia desplazada horizontalmente a h y verticalmente a k, con escala vertical |a| y reflexión si a < 0. El vértice es (h, k). El signo dentro del paréntesis exige atención: (x + 3)² = (x − (−3))² desplaza el vértice a x = −3.

Para pasar de la forma desarrollada a la canónica, completa el cuadrado. Por ejemplo, 2x² − 12x + 11 = 2(x² − 6x) + 11 = 2[(x − 3)² − 9] + 11 = 2(x − 3)² − 7. Por tanto, el vértice es (3, −7), el eje es x = 3 y la imagen en el dominio ℝ es [−7, +∞[.

Cambiar c, manteniendo a y b, desplaza la curva verticalmente. Cambiar b, manteniendo a y c, mueve el eje y también modifica la altura del vértice. Por eso no conviene memorizar que cada coeficiente «mueve la curva» en una única dirección. Las fórmulas h = −b/(2a) y k = f(h) explican el efecto combinado.

Ceros, signo e inecuaciones cuadráticas

El discriminante Δ = b² − 4ac indica cuántos ceros reales existen. Cuando Δ > 0, llama r₁ y r₂ a las raíces ordenadas, con r₁ < r₂. En la forma a(x − r₁)(x − r₂), podemos determinar el signo de cada factor en cada intervalo. Si a > 0, la función es positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas. Si a < 0, los signos se invierten.

Si Δ = 0, la expresión es a(x − r)²: el signo fuera de la raíz coincide con el signo de a y no cambia al atravesar r. Si Δ < 0, la función no toca el eje horizontal y mantiene el signo de a en todo ℝ. Estas conclusiones resultan de la factorización o de la forma canónica, no solo de memorizar un dibujo.

Resolver f(x) ≥ 0 pide los intervalos donde la salida es no negativa; las raíces se incluyen. Resolver f(x) > 0 las excluye. Después cruza la solución algebraica con el dominio del problema. Si x representa objetos, puede ser necesario conservar solo los enteros del intervalo. La inecuación tiene una colección de entradas como respuesta.

Intersecciones y elección de modelos

Dos gráficas se cruzan donde tienen la misma entrada y la misma salida. Para comparar f y g, resuelve f(x) = g(x), o estudia el signo de f(x) − g(x). Comparar una recta y una parábola conduce generalmente a una ecuación cuadrática, con cero, una o dos intersecciones reales. La condición f(x) > g(x) corresponde a f(x) − g(x) > 0.

En un problema de área, optimización o ingresos, el vértice puede dar un extremo. Pero si el dominio es [a, b], necesitamos saber si la abscisa del vértice pertenece al intervalo y comparar también las fronteras relevantes. Si el dominio es discreto, los enteros más próximos al vértice merecen un examen. Un máximo continuo en x = 4,5 no autoriza vender medio objeto.

Una función afín presupone un aumento absoluto constante; una cuadrática presupone una forma específica de cambio de ese aumento. Ninguna debe prolongarse indefinidamente solo porque se ajuste a algunos datos. La elección del modelo necesita una razón, como una relación geométrica, una tarifa definida o un patrón respaldado por información suficiente.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Toda función afín es proporcionalidad directa.

La proporcionalidad directa exige una ordenada en el origen igual a cero.

El coeficiente a de una cuadrática es su pendiente constante.

La tasa media depende del intervalo; a regula la curvatura y la concavidad.

En una inecuación cuadrática solo se presentan las raíces.

Las raíces delimitan intervalos; es necesario estudiar el signo e incluir o excluir los extremos.

El máximo continuo resuelve siempre un conteo.

Un conteo exige entradas enteras; compara las admisibles próximas al vértice.