Derivadas y tasa de variación

Repasar pendientes, incrementos y unidades

Para dos puntos de una gráfica, la pendiente es la variación vertical dividida entre la horizontal. Si la entrada cambia de a hasta a+h, el incremento de la entrada es h y el de la salida es f(a+h)−f(a). Usa paréntesis: restar f(a) significa restar toda la expresión. La tasa media es [f(a+h)−f(a)]/h y solo está definida para h≠0, con ambas entradas en el dominio.

Si la entrada es tiempo en segundos y la salida posición en metros, la tasa tiene unidad m/s. Si la entrada es número de productos y la salida coste en unidades monetarias, la tasa es coste por producto. Por tanto, una derivada no es solo un número asociado a una gráfica: expresa la sensibilidad de una magnitud a otra. Un cambio de la unidad horizontal altera el valor numérico de esa tasa.

De la secante a la tangente

Una secante pasa por dos puntos distintos de la curva. Mantén un punto fijo, en a, y acerca el otro haciendo que h tienda a cero. Si las pendientes convergen a un mismo número finito por los lados permitidos, ese número es f′(a), la derivada en a. En la definición habitual en un punto interior se exige un límite bilateral.

No sustituimos h=0 en el cociente: eso generalmente daría 0/0. Simplificamos para h≠0 y solo después tomamos el límite. La tangente es la recta y=f(a)+f′(a)(x−a), que conserva el punto y la pendiente local. Puede atravesar la curva o volver a encontrarla en otro lugar. La idea de tocar una única vez, útil para ciertas circunferencias, no es la definición general de tangente.

Deducir una regla antes de usarla

Para f(x)=x², calcula f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h². Restando a² y dividiendo entre h, para h≠0, aparece 2a+h. El límite es 2a. Como a puede ser cualquier real, la función derivada es f′(x)=2x. Para una constante, el numerador es cero y la derivada es cero. Para f(x)=mx+b, el numerador es mh y la derivada es m.

La regla de la potencia generaliza el resultado: la derivada de xⁿ es nxⁿ⁻¹, en los puntos en que la función y la derivación real tienen sentido. Para exponentes enteros positivos, el desarrollo de (x+h)ⁿ deja, después de dividir entre h, un término nxⁿ⁻¹ y términos con factores h que desaparecen en el límite. La regla también funciona para muchos exponentes no enteros, pero debe analizarse el dominio: √x tiene derivada 1/(2√x) solo para x>0.

Combinar tasas: suma, producto y composición

La derivada de una suma es la suma de las derivadas; una constante multiplicativa acompaña a la derivada. En un producto uv, el cambio incluye el cambio de u con v casi fijo y el cambio de v con u casi fijo. Eso conduce a (uv)′=u′v+uv′. No es u′v′. En un cociente, (u/v)′=(u′v−uv′)/v², donde v≠0 y las funciones son derivables.

Una composición describe una transformación dentro de otra. Si y=g(u) y u=f(x), un pequeño cambio en x produce aproximadamente f′(x) veces ese cambio en u; después g′(u) lo multiplica. Así, [g(f(x))]′=g′(f(x))f′(x). Para (3x+1)², el factor exterior es 2(3x+1) y el interior es 3. El resultado 6(3x+1) puede confirmarse expandiendo el polinomio. Estos dos caminos constituyen una comprobación útil.

Cuándo falla la derivada

La función |x| es continua en cero, pero las pendientes laterales son −1 y 1. No hay una derivada única en ese punto. La continuidad no garantiza la derivabilidad. La implicación contraria es válida: si existe una derivada finita en a, entonces f es continua en a. En efecto, el cambio f(a+h)−f(a) es el cociente de diferencias multiplicado por h; el primer factor tiende a un número finito y el segundo a cero.

Una discontinuidad impide la derivabilidad en el punto. Una tangente vertical tampoco corresponde a una derivada real finita, aunque se pueda estudiar una pendiente ilimitada. En un extremo del dominio puede haber derivada lateral; debe identificarse como tal. Al derivar 1/x, la fórmula −1/x² no permite x=0: la función original ni siquiera existe para esa entrada. El dominio de la derivada y el de la función pueden ser diferentes.

Leer tasas en el contexto y en los datos

Si s(t) representa la posición, s′(t) es la velocidad, con signo dependiente del eje; la rapidez es |s′(t)|. La aceleración es la derivada de la velocidad, no la propia velocidad. Una derivada negativa significa que la salida disminuye, no necesariamente que sea negativa. Un depósito puede contener mucho líquido mientras su volumen disminuye.

Con datos medidos, una tasa instantánea se estima a partir de tasas en intervalos pequeños. Reducir demasiado el intervalo puede amplificar los errores de medición: dividir una pequeña diferencia con ruido por un intervalo minúsculo vuelve inestable la estimación. Para una función suave, la diferencia central [f(a+h)−f(a−h)]/(2h) puede ser útil, pero sigue siendo una aproximación. Por último, una derivada nula en un instante no significa que la función sea constante: t² tiene derivada nula en cero y varía en cualquier entorno. Es el comportamiento en un intervalo lo que permite concluir que es constante.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

La derivada de un producto es el producto de las derivadas.

Cada factor contribuye a la variación; usa u′v+uv′.

Una derivada nula implica un máximo o un mínimo.

Es solo un candidato; x³ tiene derivada nula en 0 y sigue siendo creciente.

Una función continua siempre tiene derivada.

Un vértice como el de |x| en cero impide la existencia de una pendiente única.