Límites y continuidad

Repasar funciones y proximidad

Una función asocia a cada entrada permitida exactamente una salida. El dominio es el conjunto de esas entradas. En f(x)=1/(x−3), x=3 está excluido: dividir por cero no define un número real. Una gráfica representa los pares (x,f(x)), no los valores que quisiéramos que existieran. Antes de calcular un límite, escribe el dominio y localiza el punto de aproximación.

El símbolo x→a significa que elegimos entradas arbitrariamente próximas a a, generalmente diferentes de a. No describe necesariamente un objeto moviéndose en el tiempo. Podemos aproximarnos a 3 mediante 2,9; 2,99; 2,999 o mediante 3,1; 3,01; 3,001. Esas dos listas ilustran lados diferentes, pero una lista finita nunca demuestra por sí sola el comportamiento de todas las entradas próximas. La interpretación del límite exige controlar todo el entorno dentro del dominio.

El significado de aproximar una salida

Escribir lim_x→a f(x)=L significa que podemos hacer que f(x) esté tan próximo a L como queramos, restringiendo suficientemente la distancia de x a a, con x≠a. La precisión deseada en las salidas determina la proximidad necesaria en las entradas. Para f(x)=2x+1 cerca de a=3, tenemos |f(x)−7|=2|x−3|. Para un error inferior a 0,02 en la salida, basta un error inferior a 0,01 en la entrada.

Esta relación muestra la lógica de la definición rigurosa: primero se elige una tolerancia positiva ε en las salidas; después se busca una tolerancia positiva δ en las entradas. Si 0<|x−a|<δ implica |f(x)−L|<ε, el límite está controlado. Para empezar no necesitas memorizar letras, sino comprender el orden: garantizar cualquier precisión deseada, y no solo presentar valores aparentemente próximos.

Los dos lados deben coincidir

El límite por la izquierda usa entradas menores que a; el límite por la derecha usa entradas mayores. Cuando existen entradas del dominio arbitrariamente próximas por ambos lados, el límite bilateral finito existe precisamente cuando los dos límites laterales existen y son iguales. Si una función vale −2 a la izquierda de 0 y 4 a la derecha, no hay un único número que describa ambas aproximaciones. Asignar f(0)=1, o cualquier otro valor, no resuelve ese salto.

En un extremo del dominio, la continuidad puede analizarse solo por el lado permitido. Por ejemplo, √x es continua en 0 en el dominio [0,+∞), usando la aproximación por la derecha. No deben inventarse entradas negativas para exigir un límite bilateral real que el propio dominio no permite. Al responder, indica si estás usando un límite bilateral o una aproximación relativa al dominio.

Álgebra que revela el comportamiento

Para los polinomios, sustituir la entrada da el límite, porque las sumas y los productos conservan los límites finitos. Para un cociente, la sustitución directa también funciona si el límite del denominador es distinto de cero. Cuando aparece 0/0, no has obtenido un valor ni demostrado la inexistencia: has encontrado una forma indeterminada, que requiere más análisis.

En (x²−25)/(x−5), factoriza el numerador: (x−5)(x+5). Para x≠5, la expresión coincide con x+5; por tanto, cerca de 5 el límite es 10. La simplificación no hace que la expresión original esté definida en 5. Con raíces, multiplicar por el conjugado puede revelar el mismo tipo de cancelación: (√(x+4)−2)/x = 1/(√(x+4)+2), para x≠0 en el dominio. Ahora el límite en 0 es 1/4.

Continuidad, reparación y valores intermedios

Una función es continua en a cuando f(a) está definido, el límite apropiado existe y ese límite es igual a f(a). Son tres comprobaciones distintas. Una discontinuidad evitable ocurre cuando el límite finito existe, pero el punto se ha omitido o ha recibido otro valor. Podemos construir una extensión continua asignando precisamente el valor del límite. Un salto no se repara cambiando un único punto, pues los comportamientos laterales ya difieren.

La continuidad en un intervalo permite una conclusión poderosa: entre dos salidas f(a) y f(b), la función toma todos los valores intermedios si es continua en [a,b]. Así, signos opuestos garantizan al menos una raíz entre los extremos. No garantizan una única raíz ni proporcionan automáticamente su posición exacta. Un proceso de bisección reduce el intervalo, manteniendo el cambio de signo, y produce aproximaciones justificadas.

Crecimiento sin límite y lectura responsable

En 1/x², las salidas crecen sin cota cuando x se aproxima a 0 por cualquier lado. Escribimos un límite infinito, +∞, para describir ese crecimiento. El infinito no es un número real que pueda sustituirse en la expresión. En 1/x, el lado derecho tiende a +∞ y el izquierdo a −∞; no existe un límite bilateral común, ni siquiera en el sentido extendido. Una asíntota vertical describe un crecimiento ilimitado por al menos un lado.

También existen funciones que oscilan sin aproximarse a una salida: sin(1/x) cerca de 0 es un ejemplo. Una tabla o calculadora puede ocultar esas oscilaciones. Al explicar una solución, combina dominio, aproximación lateral y transformación algebraica legítima. Indica si el resultado es un número, un comportamiento ilimitado o la ausencia de límite. Esa clasificación prepara el estudio de la derivada, donde el cociente inicial también suele presentar 0/0.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Un límite solo existe si la función está definida en el punto.

El límite usa entradas próximas y distintas; es la continuidad la que también exige el valor en el punto.

0/0 es igual a cero.

Es una forma indeterminada: funciones diferentes pueden producir límites diferentes o inexistentes.

Una tabla con cinco valores demuestra el límite.

Los valores numéricos sugieren; una justificación debe controlar todo el comportamiento cercano.