Estudio y optimización de funciones

Las preguntas vienen antes que las derivadas

Una fórmula aislada no determina un problema de optimización. La expresión A(x)=x(20−x), por ejemplo, puede estudiarse en todos los reales como polinomio; si x y 20−x son longitudes, solo 0<x<20 representa rectángulos no degenerados. El dominio contextual puede ser menor que el dominio algebraico. También hay que decidir qué se pretende maximizar: área, rendimiento, ingresos u otra magnitud.

Empieza por nombrar variables con unidades, dibujar la configuración y escribir las restricciones. Después elimina variables, cuando sea posible, para obtener una función de una sola entrada. Una respuesta óptima exige existencia y admisibilidad: un valor que anula la derivada puede estar fuera del intervalo permitido o incumplir una condición original. El dibujo sirve para organizar relaciones, pero las restricciones deben aparecer explícitamente en las ecuaciones e inecuaciones.

Signo de la función y signo de la derivada

El signo de f(x) indica si la gráfica está por encima o por debajo del eje horizontal. El signo de f′(x) describe la variación: si f′ es positiva en un intervalo, f es creciente en él; si es negativa, f es decreciente. Son preguntas diferentes. La función −10+x crece en (0,2), aunque solo toma valores negativos en ese intervalo.

Para construir una tabla de variación, encuentra dónde la derivada se anula o deja de existir y divide el dominio por esos puntos y por sus discontinuidades. Determina el signo en cada intervalo mediante factorización u otro argumento. Un único valor de prueba funciona cuando ya sabemos que no hay ceros ni cambios de definición en el intervalo. A continuación, traduce los signos a flechas de crecimiento y decrecimiento y calcula las salidas en los puntos relevantes.

Extremos locales, absolutos y candidatos

Un máximo local supera las salidas suficientemente próximas; un máximo absoluto supera todas las salidas del dominio considerado. Un mínimo obedece a la comparación inversa. Si hay un extremo en un punto interior donde la derivada existe, esta debe ser cero: una tasa estrictamente positiva o negativa permitiría encontrar valores mayores por un lado y menores por el otro. Esta condición necesaria no es suficiente.

Los candidatos incluyen puntos interiores donde f′=0, puntos interiores donde la derivada no existe y extremos del intervalo que pertenecen al dominio. Para una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b], existen máximo y mínimo absolutos. Compara los valores de todos esos candidatos. En intervalos abiertos, un valor límite puede no alcanzarse nunca: f(x)=x en (0,1) se aproxima a 1, pero no tiene máximo. Distingue el mayor valor existente de la cota superior.

Justificar un extremo e interpretar la curvatura

Si la derivada cambia de positiva a negativa en un punto, la función sube y después baja: hay un máximo local. Si cambia de negativa a positiva, hay un mínimo local. Si mantiene el signo, no aparece un extremo según ese criterio. Para x³, la derivada 3x² es positiva por ambos lados de cero, aunque se anule en ese punto.

La segunda derivada describe cómo cambia la tasa. Donde f″>0, la derivada crece y la gráfica tiene concavidad hacia arriba; donde f″<0, ocurre lo contrario. Si f′(c)=0 y f″(c)>0, tenemos un mínimo local; con f″(c)<0, un máximo local. Cuando f″(c)=0, el criterio no decide. No basta resolver f″=0 para afirmar que hay un punto de inflexión: es necesario comprobar un cambio de concavidad y verificar que el punto pertenece a la gráfica.

Un modelo de área con restricción

Imagina 48 m de cerca para un rectángulo completo. Si los lados son x e y, entonces 2x+2y=48, por tanto y=24−x. El área es A=x(24−x), en m², con 0<x<24. La derivada A′=24−2x se anula en x=12. Antes de ese valor es positiva y después negativa. Por eso, el cuadrado de lado 12 m alcanza la mayor área admisible.

La comprobación también puede ser puramente algebraica: A(x)=144−(x−12)². Un cuadrado es siempre no negativo, por tanto A≤144, con igualdad solo en x=12. Esta segunda solución confirma la conclusión y explica por qué equilibrar los lados mejora el área. La derivada es una herramienta general, no una obligación cuando otra estructura resuelve mejor el problema. En modelos geométricos, busca siempre esa oportunidad de comprobación independiente.

Decisiones robustas y límites del modelo

Una optimización matemática depende de las hipótesis. Si la cerca tiene una puerta, si existe un lado ya construido o si solo se permiten longitudes enteras, la restricción cambia. Un óptimo continuo puede servir como referencia, pero una elección discreta exige comparar los enteros admisibles vecinos y los posibles límites. Redondear sin volver a las condiciones puede producir una solución imposible.

Una respuesta completa presenta la elección, el valor óptimo, las unidades y la razón por la que es globalmente mejor. En aplicaciones, comenta la sensibilidad: cerca de x=12, una variación de 1 m en la primera dimensión, compensada en la otra, reduce el área en 1 m², pues A(12+h)=144−h². Así, el modelo también informa sobre la tolerancia de la decisión. No es necesario calcular más decimales de los que permiten los datos ni confundir precisión numérica con exactitud física.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Todos los extremos satisfacen f′=0.

Los extremos del intervalo y los puntos no derivables también son candidatos.

Una derivada nula garantiza un extremo.

El signo puede permanecer igual por ambos lados, como en x³.

El mayor valor encontrado es automáticamente admisible.

Comprueba el dominio y todas las restricciones del modelo.