Geometría, trigonometría y funciones

Repasar los tres lenguajes

Un punto puede darse mediante coordenadas; una distancia, mediante un segmento; una condición geométrica, mediante una ecuación. La utilidad de la geometría analítica es hacer comparables esas descripciones. Para dos puntos A=(a,b) y B=(c,d), las diferencias horizontales y verticales forman los catetos de un triángulo rectángulo. Pitágoras proporciona AB=√[(c−a)²+(d−b)²]. El resultado es una distancia no negativa y tiene la misma unidad que las coordenadas.

Una función añade una correspondencia: cada entrada permitida tiene una única salida. Una circunferencia completa no es la gráfica de una única función y=f(x), pues muchas abscisas corresponden a dos ordenadas. Sin embargo, puede dividirse en tramos o describirse mediante un parámetro. Elegir la representación adecuada evita intentar aplicar reglas de funciones a relaciones que no son funciones en ese formato.

Ecuaciones de lugares geométricos

Los puntos a una distancia r>0 de C=(h,k) satisfacen (x−h)²+(y−k)²=r². Esta ecuación procede directamente de la fórmula de la distancia, elevada al cuadrado con ambos lados no negativos. El centro es (h,k), no (−h,−k). Completar cuadrados permite reconocer la misma forma cuando la expresión aparece desarrollada.

Por ejemplo, x²+y²−6x+4y−12=0 se transforma en (x−3)²+(y+2)²=25. Hemos sumado 9 y 4 para completar los cuadrados y hemos compensado la modificación en el otro miembro. Por tanto, centro (3,−2), radio 5. Si el lado derecho fuera negativo, no habría puntos reales; si fuera cero, habría un único punto. La manipulación algebraica debe producir una interpretación coherente, no solo una expresión familiar.

El círculo explica las identidades

En un círculo de radio r, un punto con ángulo θ puede escribirse como x=r cos θ e y=r sin θ. Sustituir en la ecuación x²+y²=r² y dividir por r² da cos²θ+sin²θ=1. Así, la identidad fundamental es Pitágoras en una forma angular. Los signos del seno y del coseno proceden de las coordenadas: en el segundo cuadrante, x<0 e y>0, por tanto el coseno es negativo y el seno positivo.

Un radián mide el arco dividido por el radio: θ=s/r. Una vuelta corresponde a 2π rad. Usar radianes es esencial en fórmulas de derivación como (sin x)′=cos x, pues la escala angular forma parte de la tasa. La tangente es sin θ/cos θ, definida solo cuando cos θ≠0. Dividir una ecuación por cos θ sin comprobar sus ceros puede eliminar soluciones legítimas o introducir expresiones sin significado.

Parametrizar un movimiento circular

Con un parámetro t, podemos describir la circunferencia mediante x(t)=h+r cos(ωt+φ) e y(t)=k+r sin(ωt+φ). Aquí r es el radio, ω la tasa angular y φ la fase inicial. Si t es tiempo en segundos, ω tiene unidad rad/s; la fase y el argumento son angulares. El período para ω≠0 es T=2π/|ω|. El signo de ω determina el sentido del recorrido.

La proyección vertical es una función sinusoidal de amplitud r y línea media k. Un observador que solo ve y(t) pierde la coordenada horizontal, pero conserva la periodicidad. Derivando, x′=−rω sin(ωt+φ) e y′=rω cos(ωt+φ). El módulo de la velocidad es r|ω|, pues sin²+cos²=1. Este ejemplo muestra la geometría, la trigonometría y las derivadas confirmando una única descripción, sin confundir una trayectoria circular con una gráfica sinusoidal.

Intersecciones y soluciones adicionales

Para encontrar la intersección entre una recta y una circunferencia, resuelve el sistema de las dos ecuaciones. Sustituir y=mx+b en la circunferencia produce generalmente una ecuación cuadrática en x. Un discriminante positivo indica dos intersecciones distintas, cero una tangencia y negativo ninguna intersección real. Cada raíz de x necesita su correspondiente coordenada y.

Elevar al cuadrado exige cuidado con las equivalencias. Resolver √(x+2)=x empieza por x≥0, pues el miembro izquierdo es no negativo. Al elevar al cuadrado, aparece x+2=x², con raíces 2 y −1; la segunda falla en la ecuación inicial. Las transformaciones pueden ampliar el conjunto de candidatos. Volver a la condición original es obligatorio, sobre todo con raíces, denominadores o funciones inversas de dominio restringido. Una gráfica es una buena comprobación visual, pero no sustituye el análisis del dominio.

Construir un modelo e interrogarlo

Para una altura periódica, la forma H(t)=c+A sin(ωt+φ) permite separar cuatro decisiones: c es la línea media, |A| la amplitud, 2π/|ω| el período y φ fija la posición inicial. Los valores máximo y mínimo son c+|A| y c−|A|. Una sola condición inicial puede no determinar todos los parámetros: también hay que saber el sentido de la variación u otro instante.

La síntesis debe terminar con preguntas de coherencia. ¿Las unidades permiten sumar los términos? ¿La entrada está en el dominio? ¿El resultado respeta la geometría? ¿Cuántas soluciones se esperan? Una distancia negativa revela un error; dos posiciones con la misma altura pueden ser perfectamente naturales. En lugar de coleccionar fórmulas separadas, identifica el objeto, elige las coordenadas o el parámetro, resuelve y traduce el resultado a la situación inicial. Las conexiones sirven tanto para descubrir como para corregir.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Una circunferencia completa siempre es y=f(x).

Puede exigir dos tramos o una parametrización para representar todas sus posiciones.

Elevar al cuadrado conserva siempre exactamente las soluciones.

Puede añadir candidatos; compruébalos todos en la relación original.

La fase no influye en la condición inicial.

La fase desplaza la oscilación y determina la posición en el instante inicial.