Variación y aproximación

Repasar el significado de la tasa

Si una función f es derivable en a, el cociente [f(a+h)−f(a)]/h se aproxima a f′(a) cuando h→0. Para h pequeño, podemos por tanto escribir f(a+h)−f(a) aproximadamente igual a f′(a)h. El producto tiene la unidad correcta: la unidad de la derivada es salida por entrada y la de h es entrada. La estimación final vuelve a la unidad de la salida.

La derivada no dice que la tasa sea exactamente constante en un entorno. Dice que una tasa constante proporciona la mejor descripción de primer orden suficientemente cerca del punto. Si una medida de longitud cambia 0,02 cm, el área de un cuadrado cambia de una forma que depende de la longitud inicial. El mismo incremento puede tener efectos muy diferentes en sistemas diferentes o en regiones diferentes de la misma función.

Construir la linealización

La recta tangente en a es L(x)=f(a)+f′(a)(x−a). Se llama linealización de f en ese punto. Para estimar f(a+h), elige una base a donde f(a) y f′(a) sean fáciles de calcular. La proximidad debe evaluarse en la escala de la función, y no solo por el número de decimales. En √x, aproximar 36,4 mediante una recta en 36 es razonable; usar la misma recta para una entrada próxima a cero no lo es.

Hay una forma precisa de expresar la aproximación: f(a+h)=f(a)+f′(a)h+r(h), donde r(h)/h→0. El resto r(h) se hace pequeño en comparación con h. Esto no implica que el resto sea cero, ni proporciona por sí solo una cota numérica para un h elegido. Para controlar cuantitativamente ese error, necesitamos información adicional sobre la función en el intervalo considerado.

Variación exacta, diferencial y error

La variación exacta es Δy=f(a+h)−f(a). El diferencial dy=f′(a)h es la variación predicha por la recta. El error con signo de la estimación es L(a+h)−f(a+h); el error absoluto es su módulo. Un error relativo divide el error absoluto por el módulo del valor exacto, cuando ese valor no es cero. Multiplicar por 100 da el error porcentual. Conviene indicar el denominador usado, sobre todo si estamos comparando cambios en vez de valores totales.

Para f(x)=x², tenemos Δy=2ah+h² y dy=2ah. La diferencia es h², que revela directamente el término despreciado. En a=10 y h=0,1, el cambio real es 2,01, mientras que el diferencial es 2. El error absoluto en el cambio es 0,01; respecto al cambio es aproximadamente 0,498%, pero respecto al valor final 102,01 es aproximadamente 0,0098%. Los dos porcentajes responden a preguntas diferentes.

Curvatura y control del error

Cuando f tiene segunda derivada continua en el intervalo entre a y a+h, y |f″(x)|≤M en ese intervalo, el error de la linealización es como máximo M h²/2. La idea es que la tasa puede alejarse de f′(a), pero esa variación está controlada por la curvatura; acumular esa desviación produce un término cuadrático. Aquí usamos este resultado como ampliación, no como consecuencia automática de la existencia de una sola derivada.

El signo de la curvatura también orienta la predicción. Si f″>0 en todo el pequeño intervalo, la curva queda por encima de la tangente: L subestima f. Si f″<0, la tangente sobreestima. En √x, la segunda derivada es −1/(4x^3/2) para x>0, por tanto la aproximación mediante la tangente sobreestima. Cerca de cero la curvatura crece mucho en módulo, advirtiendo que la misma distancia horizontal puede generar un error mayor.

Sensibilidad e incertidumbre de medición

Si el lado ℓ de un cuadrado tiene una pequeña incertidumbre Δℓ, el área A=ℓ² tiene una variación aproximada de 2ℓΔℓ. Dividiendo por A, obtenemos ΔA/A aproximadamente 2Δℓ/ℓ. Para V=ℓ³, la incertidumbre relativa se aproxima a 3Δℓ/ℓ. Estas relaciones suponen pequeñas variaciones relativas y un modelo geométrico adecuado; no sustituyen los intervalos exactos cuando se exige una garantía.

Una tolerancia simétrica en la entrada puede producir una tolerancia asimétrica en la salida. Si ℓ=10±0,1 cm, el área está exactamente entre 9,9²=98,01 y 10,1²=102,01 cm². La estimación diferencial sería 100±2 cm². Explica bien la escala del efecto, pero los extremos exactos muestran el pequeño término cuadrático. Si la función deja de ser monótona en el intervalo de incertidumbre, también hay que estudiar los puntos interiores, y no solo sustituir los extremos.

Aplicación crítica y precisión

La linealización es útil para el cálculo mental, la calibración de instrumentos y el análisis de pequeñas perturbaciones. También explica por qué no debemos dar significado físico a todos los decimales producidos por una calculadora. Una entrada medida con incertidumbre transmite esa incertidumbre a la salida; más dígitos en la operación no eliminan la limitación inicial.

Antes de usar una estimación, define la tolerancia aceptable y comprueba el dominio a lo largo del intervalo. Un modelo con un denominador próximo a cero puede amplificar mucho un pequeño cambio. Una linealización puede incluso predecir valores negativos para una magnitud siempre positiva cuando se extrapola demasiado lejos. La solución es volver a la función original, cambiar el punto de referencia o usar una aproximación más completa. La utilidad del método depende de reconocer ese límite, no de aplicarlo a cualquier distancia.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

La tangente coincide con la función cerca del punto.

En general solo la aproxima; existe un resto que debe evaluarse.

Un incremento de 0,1 siempre es pequeño.

La escala, la proximidad a singularidades y la curvatura determinan el error.

La incertidumbre relativa y la absoluta tienen las mismas unidades.

La incertidumbre absoluta tiene la unidad de la magnitud; la relativa es una razón sin dimensión.