Champs et induction électromagnétique

Revoir les vecteurs et l'interaction électrique

Un vecteur possède une norme, une direction et un sens. Additionner des champs exige d'additionner les composantes, et pas seulement les normes. La charge électrique q peut être positive ou négative, se mesure en coulombs et détermine la réponse d'un corps à un champ électrique. Le champ électrique E en un point est défini par la force par unité de charge d'essai positive, prise assez petite pour ne pas modifier sensiblement la configuration.

La relation vectorielle est F=qE. Si q>0, la force est dans le sens du champ ; si q<0, elle est en sens opposé. L'unité N/C peut aussi s'écrire V/m. Le champ existe comme description de la configuration même lorsque nous ne plaçons pas de charge d'essai à ce point. Les lignes de champ sont des représentations : la tangente indique la direction et leur densité suggère l'intensité, mais ces lignes ne sont pas des fils physiques qui attachent les particules.

Champ des charges et superposition

Une charge ponctuelle Q produit dans le vide un champ radial de norme E=k|Q|/r², pour r>0. La constante k vaut environ 8,99×10⁹ N·m²/C². Le champ pointe vers l'extérieur si Q est positive et vers la charge si elle est négative. Le modèle ponctuel convient lorsque la taille de la distribution est petite devant la distance, ou dans des situations de symétrie appropriées.

Avec plusieurs charges, le champ total est la somme vectorielle des champs individuels. Entre deux charges positives identiques, les champs peuvent s'opposer et s'annuler au point médian ; les forces sur une charge d'essai s'y annulent aussi. Pourtant, potentiel et champ ne sont pas la même grandeur : les potentiels des sources s'additionnent algébriquement et peuvent être non nuls même là où le champ total est nul. La distinction devient claire en séparant une grandeur scalaire d'une grandeur vectorielle.

Le potentiel n'est pas une force

La différence de potentiel ΔV entre deux points mesure la variation d'énergie potentielle électrique par unité de charge : ΔU=qΔV. Le potentiel est scalaire et dépend d'une référence additive ; ce sont les différences qui entrent dans le bilan énergétique. Dans un champ électrostatique, le travail de la force électrique vaut W=−ΔU=−qΔV. Une charge positive accélérée uniquement par le champ tend à gagner de l'énergie cinétique en passant vers un potentiel plus faible.

Dans un champ uniforme le long d'un déplacement Δr, ΔV=−E·Δr. Si le déplacement a pour norme d et fait un angle θ avec le champ, ΔV=−Ed cos θ. Perpendiculairement au champ, la différence est nulle. Pour une charge négative, la relation énergétique conserve le signe de q : on ne peut pas simplement affirmer que toutes les charges se déplacent spontanément vers un potentiel plus faible. Le champ pointe vers la diminution la plus rapide du potentiel, et non vers une valeur absolue imposée.

Ce que fait un champ magnétique

Une charge de vitesse v dans un champ magnétique B subit une force de norme |q|vB sin θ, où θ est l'angle entre vitesse et champ. Sa direction est perpendiculaire aux deux ; son sens résulte de la règle de la main droite pour une charge positive et s'inverse pour une charge négative. Si la charge est au repos ou se déplace parallèlement au champ, la force magnétique est nulle.

La force magnétique est perpendiculaire à la vitesse et ne fournit donc aucun travail sur la charge dans le modèle de particule. Elle peut changer la direction sans changer la valeur de la vitesse. Si v est perpendiculaire à un champ uniforme, la trajectoire peut être circulaire : en égalant |q|vB à mv²/r, on obtient r=mv/(|q|B), en régime non relativiste et lorsque les autres forces sont négligeables. Un champ électrique peut, au contraire, fournir du travail. Cette différence empêche de traiter les deux champs comme de simples versions d'une même force.

Flux : champ et orientation d'une surface

Le flux magnétique d'un champ uniforme à travers une surface plane vaut Φ=BA cos θ. L'aire A se mesure en m², B en teslas et le flux en webers. L'angle θ est mesuré entre B et la normale à la surface, et non entre B et le plan lui-même. Si le champ traverse le plan perpendiculairement, θ=0 et la valeur absolue du flux est maximale ; s'il est parallèle au plan, θ=90° et le flux est nul.

La normale choisie fixe le signe du flux. Inverser la normale change le signe sans modifier la situation physique. Pour les champs non uniformes ou les surfaces courbes, imagine la somme de petits termes B·ΔA en respectant l'orientation locale. Le flux peut changer parce que B change, que l'aire change ou que la surface tourne. Ce n'est pas une quantité de lignes matérielles traversant le circuit : c'est une mesure mathématique de la distribution et de l'orientation du champ.

Faraday et Lenz : la variation qui induit

Pour N spires ayant le même flux par spire, la force électromotrice moyenne induite vaut ε=−NΔΦ/Δt. Instantanément, ε=−N dΦ/dt. La force électromotrice se mesure en volts et représente la circulation du champ électrique induit le long du circuit. Elle peut exister dans un circuit ouvert ; un courant n'apparaît que s'il existe un chemin fermé et si la réponse des composants le permet.

Le signe négatif exprime la loi de Lenz : la réponse induite s'oppose à la variation du flux qui la produit. Si un flux entrant dans la page augmente, le courant induit tend à créer un champ sortant ; si ce flux diminue, il tend à le renforcer vers l'intérieur. S'opposer à la variation ne signifie pas toujours s'opposer au champ d'origine. L'énergie transférée au circuit provient de l'agent qui fait varier le champ ou déplace le système. L'induction ne crée pas d'énergie sans origine ; l'effort mécanique dans un générateur fait partie du bilan.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Le champ électrique et le potentiel sont synonymes.

Le champ est vectoriel et lié à la force par charge ; le potentiel est scalaire et lié à l'énergie par charge.

L'angle du flux se mesure toujours avec le plan.

Dans la formule BA cosθ, il se mesure avec la normale.

Lenz dit que le courant s'oppose toujours au champ existant.

La réponse s'oppose à la variation du flux et peut renforcer un champ qui diminue.