Fonctions et équations trigonométriques

Revoir le cercle et les radians

Sur le cercle unité, le point terminal d'un angle x a pour coordonnées (cos x, sin x). Un tour complet vaut 2π rad, soit 360°. Dans cette leçon, les arguments écrits sans symbole de degré sont en radians. Pour retrouver les valeurs exactes, utilise les angles de référence π/6, π/4 et π/3, puis choisis les signes selon le quadrant.

Par exemple, sin(7π/6) = −1/2 car l'angle est dans le troisième quadrant et a pour référence π/6. Le cosinus vaut −√3/2 et la tangente √3/3. Le sinus donne la hauteur du point et le cosinus sa position horizontale. Cette interprétation permet de déterminer combien de points ont une hauteur ou une abscisse donnée.

L'identité sin² x + cos² x = 1 vient de l'équation du cercle. La tangente vaut sin x/cos x et exige cos x ≠ 0. Une identité est une égalité valable sur tout l'ensemble de définition commun ; une équation demande les entrées pour lesquelles une égalité particulière se réalise. Confondre ces tâches peut conduire à affirmer qu'une condition vaut pour tous les angles alors qu'elle ne vaut que pour certains.

Du point aux courbes périodiques

Lorsque x augmente de 0 à 2π, le sinus prend les valeurs 0, 1, 0, −1, 0 aux arguments 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Le cosinus prend 1, 0, −1, 0, 1 aux mêmes arguments. Entre ces points, les valeurs varient continûment, formant des courbes lisses. Le tableau organise les points remarquables ; le cercle explique le comportement entre eux.

Le sinus et le cosinus ont pour ensemble de définition ℝ et pour ensemble image [−1, 1]. Tous deux ont pour période fondamentale 2π : f(x + 2π) = f(x) pour tout x, et aucune période positive plus petite ne fonctionne pour tous les arguments. La période est une variation de l'entrée qui reproduit tout le motif, pas simplement la distance entre deux points de même hauteur.

La tangente a pour ensemble de définition ℝ privé de π/2 + kπ, avec k entier, et pour ensemble image ℝ. Sa période fondamentale est π, car avancer d'un demi-tour change simultanément les signes du sinus et du cosinus, conservant leur quotient. Les droites x = π/2 + kπ sont des asymptotes verticales ; la tangente ne prend pas une valeur infinie en ces points, puisqu'elle n'y est pas définie.

Amplitude, ligne médiane et période

Considère y = A sin[B(x − h)] + D, avec A ≠ 0 et B ≠ 0. La ligne médiane est y = D, l'amplitude est |A| et l'ensemble image est [D − |A|, D + |A|]. Le signe de A peut produire une symétrie du graphe par rapport à la ligne médiane, mais l'amplitude est une distance et n'est jamais négative. La même structure s'applique au cosinus.

Pour trouver la période T, on veut que l'argument varie d'un tour complet : |B|T = 2π. Donc T = 2π/|B|. Le paramètre B n'est pas la période ; plus |B| est grand, plus l'argument effectue rapidement des tours et plus la période est petite. Le décalage horizontal h se lit après avoir mis l'argument sous la forme B(x − h).

Par exemple, 2 sin(3x − π) + 4 = 2 sin[3(x − π/3)] + 4. L'amplitude vaut 2, la ligne médiane vaut 4, la période est 2π/3 et le décalage est de π/3 vers la droite. Lire directement −π comme décalage ignorerait le facteur 3. Si A = 0 ou B = 0, la fonction devient constante et la formule de période fondamentale de cette sinusoïde ne s'applique pas.

Deux familles et une infinité de tours

Résoudre sin x = a exige d'abord |a| ≤ 1 ; en dehors de cet intervalle, aucune solution réelle n'existe. Si α est un angle tel que sin α = a, les familles générales sont x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ, k entier. Pour a = ±1, les familles peuvent coïncider : il faut éliminer les répétitions. Géométriquement, une hauteur coupe généralement le cercle en deux points par tour.

Pour cos x = a, avec |a| ≤ 1, si cos α = a, on a x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ. Pour tan x = a, une solution α engendre x = α + kπ. La tangente admet toute valeur réelle a, mais les entrées doivent rester dans son ensemble de définition. Une valeur principale de la calculatrice n'est qu'un représentant, pas la liste entière.

Les fonctions réciproques principales choisissent des intervalles pour fournir une réponse unique : arcsin renvoie des valeurs dans [−π/2, π/2], arccos dans [0, π] et arctan dans ]−π/2, π/2[. La notation « sin⁻¹ » peut désigner arcsin sur une calculatrice ; elle ne signifie pas 1/sin. Après avoir obtenu la valeur principale, utilise la symétrie et la périodicité pour retrouver les autres solutions demandées.

Algèbre appliquée aux expressions trigonométriques

Une équation peut être du second degré en sin x ou cos x. Effectue une substitution temporaire, comme u = sin x, et résous l'équation polynomiale. Exige ensuite que u soit entre −1 et 1 et reviens aux familles trigonométriques. Un candidat u = 2 peut résoudre l'équation algébrique auxiliaire, mais ne peut pas être le sinus d'un angle réel.

Factoriser préserve des possibilités qu'une division pourrait perdre. Dans sin x cos x = 0, la propriété du produit nul donne sin x = 0 ou cos x = 0. Diviser immédiatement par sin x éliminerait toutes les solutions où le sinus est nul. Il est également interdit de multiplier une égalité par une expression non définie pour « supprimer » un dénominateur.

Si l'argument est 2x, résous d'abord pour cet argument ou transforme soigneusement les familles. Sur l'intervalle 0 ≤ x < 2π, la valeur 2x parcourt [0, 4π[, soit deux tours. Chercher seulement un tour de 2x fait perdre des solutions. Lorsque tu ajoutes ou divises des facteurs dans les familles générales, la période de l'inconnue change aussi.

Modèles périodiques et choix des intervalles

Un modèle périodique représente un phénomène dont le motif se répète approximativement. Si une hauteur oscille entre 2 m et 8 m, la ligne médiane vaut (2 + 8)/2 = 5 m et l'amplitude (8 − 2)/2 = 3 m. Si le cycle dure 12 s, le facteur angulaire est 2π/12 = π/6 rad/s. La phase initiale dépend du point de départ du mouvement et de son sens.

Par exemple, H(t) = 5 − 3 cos(πt/6) commence au minimum : H(0) = 2. À 6 s, elle atteint 8 et à 12 s revient à 2. L'argument πt/6 est sans dimension lorsque t est mesuré en secondes avec le facteur angulaire correspondant. L'amplitude a l'unité de la hauteur, tandis que la période a l'unité du temps.

Lorsque la question demande « pendant le premier cycle », choisis un intervalle comme [0, 12[ ou [0, 12], selon les bornes précisées. Un instant de frontière peut appartenir à deux cycles si les deux sont fermés. La réponse doit lister les instants admissibles, et pas seulement écrire une famille infinie sans la filtrer selon le contexte.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

L'amplitude peut être négative.

Elle vaut |A|, une distance à la ligne médiane.

Le facteur B est la période de la sinusoïde.

Pour B ≠ 0, la période est 2π/|B|.

La calculatrice donne toutes les solutions trigonométriques.

Elle donne une valeur principale ; le cercle et la périodicité fournissent les autres.

Diviser par le sinus ou le cosinus ne modifie jamais les solutions.

Cela peut éliminer les zéros de ce facteur ou utiliser des points hors de l'ensemble de définition.

L'intervalle de x est aussi celui de 2x.

Multiplier l'argument modifie l'intervalle parcouru et peut augmenter le nombre de solutions.