Oscillations et ondes

Équilibre et répétition

Un système est à l'équilibre lorsque la résultante pertinente est nulle. À un équilibre stable, un petit écart produit une tendance au retour. Si le système passe de façon répétée de part et d'autre de cette position, il décrit une oscillation. Tout mouvement périodique n'est pas une oscillation rectiligne : une rotation uniforme se répète aussi, mais ne traverse pas une position d'équilibre de la même manière.

L'amplitude A est l'écart maximal par rapport à l'équilibre, en m lorsque nous décrivons une position. La période T est la durée d'un cycle complet, en s. La fréquence f = 1/T mesure les cycles par seconde, en Hz. Aller d'une position extrême à l'autre correspond à un demi-cycle pour un oscillateur symétrique, et non à une période entière.

La phase indique l'étape du cycle : deux oscillateurs peuvent avoir la même fréquence et la même amplitude, mais atteindre leurs maxima à des instants différents. Connaître la période ne suffit pas à connaître la position à un instant donné. La condition initiale, comme la position et le sens du mouvement, complète la description.

Force proportionnelle à l'écart

Pour un ressort idéal, F = −kx. x est la déformation par rapport à l'équilibre et k mesure la raideur en N/m. Le signe négatif montre que la force pointe en sens opposé à l'écart. Avec une masse m et sans autre force résultante sur cet axe, la deuxième loi donne a = −(k/m)x.

Cette proportionnalité entre accélération et position, avec des sens opposés, caractérise le mouvement harmonique simple. Une représentation est x(t) = A cos(ωt + φ), avec ω = √(k/m) et φ la phase initiale. T = 2π√(m/k) et f = 1/T. L'argument de la fonction trigonométrique doit être un angle en radians.

À l'équilibre, x = 0 et a = 0, mais la vitesse est maximale. Aux positions extrêmes, la vitesse est nulle et la norme de l'accélération maximale. Ne confonds pas « position d'équilibre » et « être immobile ». La relation du ressort exige un régime élastique linéaire ; de grandes déformations peuvent invalider la proportionnalité et la période prévue.

Énergie et autre modèle : le pendule

Pour un oscillateur masse-ressort idéal, E = mv²/2 + kx²/2 reste constante. Aux positions extrêmes, toute l'énergie mécanique est potentielle élastique : E = kA²/2. À l'équilibre, elle est cinétique : E = mv maximale²/2. Ainsi, v maximale = A√(k/m) = Aω. Doubler A quadruple l'énergie tout en gardant la même période dans le modèle linéaire.

Un pendule simple est une masse ponctuelle attachée à un fil léger et inextensible de longueur L. Pour de petits angles et en négligeant la résistance, le mouvement approche le mouvement harmonique simple avec T ≈ 2π√(L/g). Nous utilisons g = 9,8 m/s² dans ce cours. La longueur va du point de suspension au centre de la masse.

La période approchée du pendule ne dépend pas de la masse, mais dépend de L et de g. La condition de petits angles est essentielle : l'approximation utilise sin θ ≈ θ lorsque θ est en radians. Pour de grandes amplitudes angulaires, la période réelle dépend davantage de l'amplitude et la formule simple perd en exactitude.

Une perturbation se propage

Une onde transporte une perturbation et de l'énergie entre des régions. Sur une corde, chaque petite portion peut monter et descendre tandis que l'impulsion avance horizontalement. Le mouvement local de la matière n'est pas la vitesse de propagation. Dans le modèle des petites ondes, toute la corde n'est pas transportée avec l'impulsion.

Les ondes mécaniques nécessitent un milieu matériel. Les ondes électromagnétiques, comme la lumière, peuvent se propager dans le vide. Dans une onde transversale, la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation ; dans une onde longitudinale, elle est parallèle. Le son dans l'air est longitudinal, avec des compressions et des raréfactions de pression.

La longueur d'onde λ est la séparation spatiale entre des points consécutifs en phase, comme deux crêtes. La période T est la durée séparant le passage de deux crêtes au même point. Pendant une période, la forme avance de λ, donc v = λ/T = λf. L'amplitude ne doit pas être confondue avec λ : l'une mesure l'intensité de la perturbation, l'autre la répétition dans l'espace.

Le milieu conditionne la propagation

Dans de nombreux modèles linéaires, la vitesse de propagation dépend des propriétés du milieu, et non de la fréquence choisie par la source. Pour une corde idéale tendue, v = √(F tension/μ), où μ est la masse par unité de longueur en kg/m. Une tension plus grande augmente la vitesse ; une masse par longueur plus grande la diminue.

Si une onde passe dans un autre milieu, la fréquence imposée par la source reste constante à une interface stationnaire. Puisque v change, λ change selon v = λf. Cette distinction évite l'idée qu'une onde « garde toujours la même longueur » dans tous les matériaux.

L'énergie transportée dépend de l'amplitude et des propriétés du système. Pour des ondes harmoniques linéaires, toutes choses égales par ailleurs, l'énergie ou l'intensité est proportionnelle à A². Doubler l'amplitude peut quadrupler l'intensité. Cela ne signifie pas que la vitesse de propagation doit doubler : la vitesse et l'énergie par onde sont des propriétés différentes.

Additionner des perturbations et former des motifs

En régime linéaire, lorsque deux ondes se rencontrent, le déplacement résultant en un point est la somme des déplacements que chacune produirait séparément. C'est le principe de superposition. Deux crêtes en phase peuvent se renforcer ; une crête et un creux de même valeur absolue peuvent annuler le déplacement à ce point et à cet instant.

L'annulation locale ne détruit pas l'énergie totale. Après leur croisement, les impulsions idéales continuent à se propager. Les énergies et les flux doivent être analysés dans l'ensemble ; on n'obtient pas l'énergie totale en élevant simplement au carré la somme des amplitudes sans considérer l'interférence et la région.

Deux ondes identiques de sens opposés peuvent former une onde stationnaire. Il existe des nœuds où le déplacement reste nul et des ventres d'amplitude maximale. Sur une corde fixe aux deux extrémités, L = nλ/2, avec n entier positif. Les fréquences autorisées sont donc fₙ = nv/(2L). La distance entre deux nœuds consécutifs vaut λ/2, et non λ.

Oscillations réelles et résonance

Le frottement et la résistance retirent de l'énergie mécanique à l'oscillateur en la transformant en énergie interne : c'est l'amortissement. Avec un faible amortissement, l'amplitude diminue au fil des cycles. Avec un amortissement très fort, le système peut revenir à l'équilibre sans osciller. La condition critique sépare les régimes et correspond à un retour rapide sans oscillations dans ce modèle.

Une force extérieure périodique peut entretenir des oscillations en fournissant de l'énergie. L'amplitude de la réponse dépend de la fréquence d'excitation, de la fréquence propre et de l'amortissement. Près d'une fréquence de résonance, le transfert d'énergie peut être plus efficace et l'amplitude augmenter.

La résonance ne signifie pas une amplitude infinie dans un système réel. L'amortissement limite la réponse et les grandes amplitudes peuvent modifier le comportement ou provoquer des déformations. Une balançoire est un exemple accessible : le moment des poussées compte, car pousser à une phase inadaptée peut fournir peu d'énergie, voire en retirer. Comprendre la phase et les pertes est aussi important que comparer les fréquences.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

À l'équilibre, l'oscillateur est toujours immobile.

Il peut le traverser à vitesse maximale.

L'onde emporte tout le milieu avec elle.

La perturbation et l'énergie se propagent ; les particules oscillent localement dans le modèle.

La fréquence et la vitesse sont la même propriété.

La fréquence est un nombre de cycles par temps ; la vitesse une distance par temps.

Un nœud signifie une absence d'énergie dans tout le système.

C'est une position de déplacement nul dans une figure stationnaire.

La résonance exige une amplitude illimitée.

Les pertes et les limites physiques déterminent la réponse réelle.