Fonctions, ensemble de définition et représentations

Révision : d'une règle aux couples ordonnés

Une relation associe des éléments. Une fonction est une relation dans laquelle chaque entrée autorisée a exactement une sortie. Considère la règle « associer son carré à chaque entier entre 1 et 4 ». Les couples sont (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16). La liste permet de vérifier l'unicité de la sortie pour toutes les entrées de cet ensemble de définition fini.

Dans la notation f(x), x est l'entrée et f(x) le résultat. Si f(x) = 3x − 2, alors f(5) = 13. En revanche, f(x) = 13 est une équation dont la solution est x = 5. La lettre f est le nom de la fonction ; nous pourrions l'appeler g sans changer l'idée si la définition reste la même. La variable d'entrée peut aussi s'appeler t, particulièrement lorsqu'elle représente le temps.

Revoir le remplacement est essentiel : si g(x) = x² + 2x, alors g(−3) = (−3)² + 2(−3) = 9 − 6 = 3. Les parenthèses gardent toute l'entrée négative sous le carré. Nous pouvons aussi avoir g(1) = 3. Cela ne viole pas la définition : deux entrées peuvent donner la même sortie.

Ensemble de définition, ensemble d'arrivée et ensemble image

Écrire f: D → C indique que D est l'ensemble de définition et C l'ensemble d'arrivée déclaré. Chaque x de D doit recevoir une valeur f(x) appartenant à C. L'ensemble image, Im(f), rassemble seulement les valeurs effectivement atteintes. Im(f) est donc inclus dans C, mais n'est pas nécessairement égal à C.

Par exemple, définis f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ par f(x) = x². L'ensemble de définition contient cinq entrées ; l'ensemble image est {0, 1, 4} ; l'ensemble d'arrivée est tout ℝ. Le nombre 3 appartient à l'ensemble d'arrivée, mais pas à l'ensemble image. Si nous déclarions l'ensemble d'arrivée {0, 1, 4}, la même règle sur les mêmes entrées atteindrait alors tout l'ensemble d'arrivée.

Pour la fonction q: ℝ → ℝ, q(x) = x², l'ensemble image est [0, +∞[. Tout y ≥ 0 est atteint par x = √y, tandis qu'aucun y négatif ne peut être le carré d'un réel. Une fonction qui atteint tout l'ensemble d'arrivée déclaré est dite surjective. Une fonction dont les entrées différentes produisent des sorties différentes est dite injective ; q n'est pas injective sur ℝ, car q(−2) = q(2).

Comment trouver l'ensemble de définition d'une formule

Lorsqu'une formule est donnée sans ensemble de définition explicite et que nous travaillons dans ℝ, nous cherchons son domaine naturel : les valeurs réelles pour lesquelles toutes les opérations ont un sens. Les polynômes, comme x³ − 2x + 1, acceptent tous les réels. Un dénominateur ne peut pas être nul. Une racine d'indice pair exige un radicand positif ou nul ; une racine d'indice impair admet aussi les nombres négatifs.

Pour f(x) = √(x − 2)/(x − 5), il faut simultanément x − 2 ≥ 0 et x − 5 ≠ 0. La première condition donne x ≥ 2 ; la seconde exclut 5. L'ensemble de définition est [2, 5[ ∪ ]5, +∞[. Le symbole ∪ signifie union : les entrées d'un intervalle ou de l'autre. Le mot « simultanément » correspond à l'intersection des conditions, et non au choix d'une seule.

La simplification ne supprime pas les restrictions d'origine. L'expression (x² − 9)/(x − 3) coïncide avec x + 3 seulement pour x ≠ 3. La première a une entrée interdite en 3 ; la seconde, si elle est définie sur tout ℝ, n'en a pas. Les formules simplifiées peuvent décrire les mêmes valeurs là où elles existent toutes deux, mais des fonctions aux ensembles de définition différents ne sont pas la même fonction.

Mots, tableau, diagramme et graphique

Une description verbale explique le sens des grandeurs et les hypothèses ; un tableau montre des couples concrets ; une expression permet de calculer des valeurs ; un graphique rend visibles les tendances et les intersections. Aucune représentation ne dispense automatiquement des autres. Un tableau fini ne détermine pas à lui seul une formule unique pour tous les réels : de nombreuses règles peuvent coïncider aux points indiqués et différer entre eux.

Dans un diagramme de flèches, chaque élément de l'ensemble de définition doit avoir une seule flèche de sortie. Plusieurs flèches peuvent arriver à la même destination. Sur le graphique cartésien, une droite verticale x = a ne peut pas rencontrer deux points d'ordonnées différentes si la relation est une fonction de x. Le test de la droite verticale traduit géométriquement l'unicité de la sortie.

Un cercle complet n'est pas le graphique d'une seule fonction y de x : pour plusieurs abscisses, il existe une ordonnée positive et une négative. Le demi-cercle supérieur peut être une fonction, par exemple y = √(r² − x²) sur [−r, r], avec r > 0. Restreindre la relation permet de choisir une seule sortie, mais nous devons déclarer ce choix.

Lire la croissance et les taux moyens

Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque des entrées plus grandes donnent des sorties plus grandes ; elle est décroissante lorsque des entrées plus grandes donnent des sorties plus petites. Compare toujours de gauche à droite sur l'axe d'entrée. Pour f(x) = (x − 3)², la fonction diminue jusqu'à x = 3 puis augmente. Avoir des sorties positives n'implique pas de croître : entre 0 et 2, les valeurs 9, 4 et 1 sont positives et diminuent.

Le taux moyen de variation entre deux entrées distinctes a et b vaut [f(b) − f(a)]/(b − a). Le numérateur mesure la variation de sortie ; le dénominateur la variation d'entrée. Si la sortie est un volume en litres et l'entrée une durée en minutes, le taux est en litres par minute. Un taux moyen ne garantit pas que le changement s'est produit uniformément.

Pour V(t) = 120 − 6t, entre t = 2 et t = 7, V passe de 108 à 78. Le taux moyen vaut (78 − 108)/(7 − 2) = −30/5 = −6 L/min. Le signe négatif indique une diminution du volume. Pour cette fonction affine, tous les taux moyens coïncident ; pour une fonction quadratique, ce n'est plus le cas.

Domaine lié au contexte et fonctions par morceaux

Un modèle peut avoir un ensemble de définition plus restreint que son expression. Si V(t) = 120 − 6t représente la vidange d'un réservoir à débit constant, le temps commence à 0 et se termine lorsque V = 0, c'est-à-dire à t = 20 min. Utiliser t = 30 donnerait un volume de −60 L, permis par le calcul mais incompatible avec ce modèle physique.

Dans certaines situations, des règles différentes s'appliquent à des régions différentes. Un service hypothétique peut facturer C(n) = 100n pour 0 ≤ n ≤ 5 et C(n) = 500 + 80(n − 5) pour n > 5, où n est un nombre entier d'unités et C est en Kz. Le second morceau conserve le coût des cinq premières unités et ajoute 80 par unité supplémentaire ; il ne réapplique pas le prix à toutes les unités.

Pour évaluer C(7), choisis d'abord le bon morceau : C(7) = 500 + 80 × 2 = 660 Kz. Il ne suffit pas de voir une lettre et de remplacer dans n'importe quelle expression. Les extrémités des morceaux nécessitent des règles claires : si deux morceaux incluent la même entrée avec des sorties différentes, la définition échoue ; si une entrée de l'ensemble de définition reste sans morceau, elle échoue aussi.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

L'ensemble image et l'ensemble d'arrivée sont toujours égaux.

L'ensemble image contient seulement les sorties effectivement atteintes ; l'ensemble d'arrivée est l'ensemble de destination déclaré.

La formule détermine tout ce qu'est une fonction.

L'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée font partie de la définition.

Une sortie répétée empêche une fonction.

C'est une entrée avec deux sorties différentes qui viole la définition.

Une fonction positive est nécessairement croissante.

La positivité compare les sorties à zéro ; la croissance compare les sorties entre elles lorsque l'entrée augmente.