Suites et progressions

Bases : le rang n'est pas la valeur

Une suite est une fonction définie sur des positions entières successives, par exemple n = 1, 2, 3, …. On écrit uₙ pour le terme de rang n. Dans la suite 7, 11, 15, 19, …, on a u₁ = 7 et u₃ = 15. L'indice 3 est un rang, tandis que 15 est la valeur à ce rang ; ce ne sont pas deux manières d'écrire le même nombre.

Certaines suites commencent à n = 0. Si l'on définit vₙ = 5 × 2ⁿ pour n = 0, 1, 2, …, la première valeur est v₀ = 5. Si l'on commence à n = 1, la première valeur de cette même expression sera 10. Avant d'utiliser une formule, regarde où commence l'indice et quelle grandeur représente le terme.

Sur le graphique d'une suite, on place les points (n, uₙ). Des entrées comme n = 2,5 n'existent pas automatiquement. Relier les points par une ligne peut aider à voir une tendance, mais introduit des valeurs intermédiaires qui n'appartiennent pas à l'ensemble de définition initial. Une fonction de variable réelle peut servir de prolongement, à condition de reconnaître ce nouveau choix.

Règles explicites, récurrence et limites d'une régularité

Une règle explicite calcule directement le terme à partir de l'indice. Avec uₙ = 4n + 3, n ≥ 1, on trouve u₁₀ = 43 sans calculer les neuf termes précédents. Une règle de récurrence calcule à partir des termes précédents et nécessite des données initiales : u₁ = 7 et uₙ₊₁ = uₙ + 4 pour n ≥ 1 produisent la même suite.

La récurrence seule ne suffit pas. La règle « ajouter 4 au précédent » peut commencer à 7, à −2 ou à un autre nombre, donnant des suites différentes. Une récurrence utilisant les deux termes précédents, comme uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ, exige généralement deux valeurs initiales pour fixer la suite.

Observer 2, 4, 6 ne prouve pas que le terme suivant soit 8. Cette continuation est naturelle sous l'hypothèse d'une différence constante, mais d'autres règles coïncident sur les trois premiers termes. Par exemple, uₙ = 2n + (n − 1)(n − 2)(n − 3) donne 2, 4, 6 puis 14. Il faut distinguer « la règle proposée est » de « les quelques données imposent ». La justification mathématique s'appuie sur la règle, pas seulement sur l'apparence.

Suite arithmétique : croissance par addition

Dans une suite arithmétique, la différence entre termes consécutifs est constante : uₙ₊₁ − uₙ = d. Le nombre d est appelé raison de la suite arithmétique. Il peut être positif, négatif ou nul. En partant de u₁, le deuxième terme est u₁ + d, le troisième est u₁ + 2d et, après n − 1 étapes, le terme général est :

Le facteur n − 1 compte les passages entre le premier terme et le terme de rang n. Pour aller du rang 1 au rang 6, on effectue cinq passages, pas six. Si l'indice commence à zéro, la formule correspondante est uₙ = u₀ + nd. Cette différence est une convention, pas une contradiction.

Si d > 0, la suite arithmétique est strictement croissante ; si d < 0, elle est décroissante ; si d = 0, elle est constante. Entre deux termes, uⱼ − uᵢ = (j − i)d. Connaître deux rangs distincts et leurs valeurs permet donc de calculer d. C'est la structure d'une fonction affine observée uniquement aux entrées entières, avec le même accroissement à chaque étape.

Sommer une suite arithmétique par appariement

Appelle Sₙ la somme des n premiers termes. Écris la somme une fois dans l'ordre normal et une autre dans l'ordre inverse. En additionnant membre à membre, chaque paire vaut u₁ + uₙ : le premier et le dernier, le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite. Cette addition de deux copies de la somme comporte n paires, donc 2Sₙ = n(u₁ + uₙ).

La division par deux corrige le fait d'avoir compté la somme deux fois. Le raisonnement fonctionne aussi lorsque n est impair : présenter deux copies évite toute difficulté avec le terme central. Aucune règle distincte n'est nécessaire pour les sommes comprenant un nombre impair de termes.

Par exemple, une rangée de blocs peut avoir 6 pièces, la suivante 9, puis 12, avec une augmentation constante de 3. La sixième possède 6 + 5 × 3 = 21 pièces. Le total des six rangées est 6(6 + 21)/2 = 81 pièces. Le terme u₆ compte les pièces d'une rangée ; S₆ compte les pièces des six rangées. Confondre un terme et une somme revient à répondre à une autre question.

Suite géométrique : croissance par un facteur

Dans une suite géométrique, chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un facteur constant q : uₙ₊₁ = quₙ. Avec un premier terme non nul et q ≠ 0, le quotient uₙ₊₁/uₙ confirme la raison. Après n − 1 multiplications, uₙ = u₁qⁿ⁻¹. Si q = 0, la récurrence produit u₁, 0, 0, … ; traite directement ce cas pour éviter de diviser par des termes nuls.

Un pourcentage constant donne un facteur constant : augmenter de 15 % revient à multiplier par 1,15 ; diminuer de 15 % revient à multiplier par 0,85. Une augmentation en pourcentage n'est pas une augmentation absolue constante. En partant de 100, deux augmentations de 15 % donnent 100 × 1,15² = 132,25, car la deuxième s'applique à 115.

Pour u₁ > 0, q > 1 produit une croissance ; 0 < q < 1 produit une décroissance vers des valeurs positives. Si q < 0, les signes alternent : « augmente toujours » n'a donc généralement plus de sens. La valeur absolue dépend de |q|. Par exemple, avec q = −1/2, les signes alternent tandis que les valeurs absolues diminuent. La condition sur u₁ compte lorsqu'on affirme la monotonie.

Sommer et comparer des modèles multiplicatifs

Pour une suite géométrique finie, Sₙ = u₁ + u₁q + … + u₁qⁿ⁻¹. Multiplier par q décale les termes d'un rang. Soustraire les deux égalités annule les termes intermédiaires et donne Sₙ − qSₙ = u₁ − u₁qⁿ. Ainsi, si q ≠ 1, Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Pour q = 1, tous les termes valent u₁ et Sₙ = nu₁.

Une somme infinie ne s'obtient pas simplement en effaçant le dernier terme. Lorsque |q| < 1, qⁿ s'approche de zéro et les sommes finies s'approchent de u₁/(1 − q). Cette valeur est la limite des sommes partielles. En dehors de cette condition, cette formule ne donne généralement pas de somme infinie finie ; le cas où tous les termes sont nuls est trivial et doit être distingué.

Lorsque tu compares une suite arithmétique et une suite géométrique, précise l'horizon et les paramètres. Une suite géométrique de raison 0,9 diminue ; elle ne croît pas plus vite qu'une suite arithmétique croissante. Dans les applications, les facteurs et les accroissements peuvent changer avec le temps. Un modèle régulier est utile dans les hypothèses retenues ; il ne garantit pas que les populations, les prix ou les ressources suivent éternellement la même règle.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

L'indice n est la valeur du terme.

n indique le rang ; uₙ est le nombre associé à ce rang.

Dans la formule à partir du premier terme, il y a n accroissements.

Du rang 1 au rang n, il y a n − 1 passages.

Un pourcentage constant crée une suite arithmétique.

Il crée une multiplication par un facteur constant, donc une suite géométrique lorsque les conditions se maintiennent.

La formule de somme géométrique permet toujours une infinité de termes.

Pour obtenir une limite finie non triviale, il faut |q| < 1.