Exponentielles et logarithmes

Révision : exposants, racines et pourcentages

Pour un entier n positif, aⁿ est un produit de n facteurs égaux. Pour a ≠ 0, on définit a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ pour conserver les règles des puissances. Si a > 0, les exposants rationnels s'interprètent aussi par des racines : a^1/2 = √a et a^2/3 = (∛a)². La base positive permet d'étendre la puissance à tous les exposants réels.

Les règles a^x+y = aˣaʸ et (aˣ)ʸ = a^xy traduisent la structure multiplicative. Elles n'autorisent pas aˣ + aʸ = a^x+y. Par exemple, 3² + 3³ = 36, tandis que 3⁵ = 243. Identifie toujours si l'opération entre les puissances est une somme, un produit ou un quotient.

Un taux d'augmentation p, écrit sous forme décimale, correspond au facteur 1 + p. Augmenter de 8 % utilise 1,08 ; diminuer de 8 % utilise 0,92. Si la valeur initiale est Q₀ et le facteur par période est q, après n périodes Qₙ = Q₀qⁿ. L'exposant compte les périodes complètes depuis l'instant initial n = 0, et non le rang dans une liste qui commence à 1.

Une variable dans l'exposant

La fonction exponentielle de base est f(x) = aˣ, avec a > 0 et a ≠ 1, définie pour tout réel x. Si a > 1, elle est strictement croissante ; si 0 < a < 1, elle est strictement décroissante. Ses valeurs sont toujours positives, son ensemble image est ]0, +∞[ et f(0) = 1. L'axe horizontal est une asymptote : la fonction peut s'approcher de zéro sans l'atteindre.

L'expression x³ est une fonction puissance, pas exponentielle : la variable est dans la base. L'expression (−2)ˣ ne définit pas une fonction réelle pour tout x, car, par exemple, x = 1/2 exigerait une racine carrée d'un nombre négatif. La base 1 donnerait la fonction constante 1, sans réciproque logarithmique permettant de distinguer les exposants.

Un modèle Q(t) = Q₀aᵗ, avec Q₀ > 0, multiplie la valeur par a chaque fois que t augmente d'une unité. Si le temps est mesuré en heures, l'unité de l'exposant doit être comprise comme un nombre de périodes d'une heure. Une forme dimensionnellement plus explicite est Q(t) = Q₀a^t/τ, où τ est la durée de la période dans la même unité que t.

La question réciproque : quel est l'exposant ?

Pour a > 0, a ≠ 1 et y > 0, on définit log_a y comme l'unique nombre x tel que aˣ = y. L'unicité vient de la monotonie de l'exponentielle : une même sortie positive ne peut correspondre à deux exposants distincts. Le logarithme n'est pas une division par a ; c'est l'exposant recherché.

Par exemple, log₂ 32 = 5 parce que 2⁵ = 32 ; log₄(1/16) = −2 parce que 4⁻² = 1/16. On a log_a 1 = 0 et log_a a = 1. Les identités réciproques sont log_a(aˣ) = x pour tout réel x et a^{logₐ y} = y pour y > 0.

La fonction logarithmique a pour ensemble de définition ]0, +∞[ et pour ensemble image ℝ. Échanger l'entrée et la sortie rend les graphes de l'exponentielle et de son logarithme symétriques par rapport à la droite y = x. Pour une base supérieure à 1, le logarithme croît ; pour une base entre 0 et 1, il décroît. Dans les nombres réels, l'argument ne peut être ni nul ni négatif, car aucune puissance de base positive ne produit ces valeurs.

Pourquoi les produits deviennent des sommes

Si u et v sont positifs, écris u = aʳ et v = aˢ. Alors uv = a^r+s, donc log_a(uv) = r + s = log_a u + log_a v. Le même raisonnement avec la division donne log_a(u/v) = log_a u − log_a v. Pour u > 0 et k réel, log_a(uᵏ) = k log_a u.

Ces propriétés viennent des opérations sur les exposants. Il n'existe aucune règle générale transformant log(u + v) en log u + log v. Un contre-exemple suffit : en base 10, log(10 + 10) = log 20 ≈ 1,3010, tandis que log 10 + log 10 = 2. Appliquer une propriété au mauvais type d'opération change la valeur.

Le changement de base permet de calculer log_a y = ln y/ln a, où ln est le logarithme de base e, environ 2,71828. Tu peux aussi utiliser des logarithmes de base 10 au numérateur et au dénominateur. La formule découle de y = aˣ en appliquant un même logarithme aux deux membres : log y = x log a. Comme a ≠ 1, le dénominateur n'est pas nul.

Résoudre des équations en conservant l'ensemble de définition

Si deux puissances ont la même base positive différente de 1, aˣ = aʸ implique x = y. Par exemple, 5^2x−1 = 125 = 5³ donne 2x − 1 = 3, donc x = 2. S'il n'existe pas de base commune commode, on applique des logarithmes aux deux membres positifs et on isole l'inconnue dans l'exposant.

Pour les équations avec des logarithmes, note les conditions sur les arguments avant de combiner les expressions. Dans log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3, il faut x > 3. La règle du produit donne log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3, donc (x − 1)(x − 3) = 8. L'équation du second degré peut produire des candidats hors de l'ensemble de définition initial ; il faut les rejeter.

Dans les inéquations, la monotonie détermine si l'ordre est conservé. Appliquer un logarithme de base supérieure à 1 conserve l'ordre entre des arguments positifs ; une base entre 0 et 1 l'inverse. La même prudence s'impose lorsqu'on divise par ln a, négatif lorsque 0 < a < 1. Vérifier des valeurs tests aide à contrôler le sens de l'intervalle obtenu.

Temps de doublement, décroissance et limites

Si Q(t) = Q₀aᵗ et a > 1, le temps de doublement T satisfait Q(t + T)/Q(t) = aᵀ = 2. Donc T = ln 2/ln a. Il ne dépend pas de l'instant initial t dans ce modèle, car le facteur par période est constant. Si 0 < a < 1, le temps de réduction de moitié satisfait aᵀ = 1/2 et vaut T = ln(1/2)/ln a, positif puisqu'on divise deux nombres négatifs.

Pour Q(t) = Q₀e^kt, le produit kt doit être sans dimension : si t est en jours, k a pour unité jour⁻¹. k > 0 donne une croissance et k < 0 une décroissance. Cette écriture continue est utile, mais ne démontre pas qu'un processus réel croît sans limite. Les ressources, les conditions environnementales ou les changements de régime peuvent invalider le modèle.

Une réponse exprimant un temps peut nécessiter un arrondi adapté au contexte. Si un effectif n'est observé qu'à la fin de périodes entières et que le seuil est dépassé à t ≈ 4,2, le premier relevé entier au-dessus du seuil sera celui de la période 5. N'arrondis pas simplement à 4 si la question demande la première période satisfaisant la condition.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Un logarithme est une fraction entre l'argument et la base.

C'est l'exposant que la base doit avoir pour produire l'argument.

log(u + v) = log u + log v.

La somme de logarithmes correspond au logarithme d'un produit d'arguments positifs.

Tous les candidats algébriques conviennent dans une équation logarithmique.

Chaque argument initial doit rester strictement positif.

Les bases exponentielles entre zéro et un conservent l'ordre des exposants.

Elles sont décroissantes et inversent cette comparaison.