Données et probabilités — complément

Bases : ce que nous observons et qui nous observons

La population est l'ensemble sur lequel nous voulons savoir quelque chose ; un échantillon est la partie observée. Si nous voulons étudier les temps de trajet de tous les élèves d'une école, ils constituent la population. Les 40 élèves interrogés constituent un échantillon. Sa taille compte, mais aussi la sélection : ne choisir que ceux qui arrivent très tôt peut biaiser les temps recueillis.

Une variable est la caractéristique enregistrée pour chaque unité observée. Le moyen de transport est qualitatif ; le nombre de frères et sœurs est quantitatif discret ; le temps de trajet est quantitatif continu, même s'il est arrondi à la minute. Des codes numériques de catégories ne les transforment pas en quantités : calculer la moyenne de codes du bus et de la marche ne produit pas une mesure utile.

Un échantillon aléatoire ne garantit pas la perfection, mais aide à éviter des choix systématiquement favorables à certains résultats. Sélectionner des personnes au hasard diffère d'attribuer un traitement au hasard : le premier choix aide à représenter une population ; le second aide à comparer les causes dans une étude expérimentale. La non-réponse à une enquête et des méthodes de mesure différentes peuvent aussi déformer les conclusions.

Organiser et représenter une distribution

L'effectif d'une valeur ou d'une classe est le nombre d'observations qui lui appartiennent. La fréquence relative divise cet effectif par le total n ; le pourcentage multiplie par 100. Si 9 élèves sur 30 utilisent un vélo, la fréquence relative vaut 9/30 = 0,3 et le pourcentage 30%. La somme des effectifs doit donner n et celle des fréquences relatives 1, à de petits effets d'arrondi près.

Pour les catégories, un diagramme à barres séparées montre les effectifs ou les proportions. Pour une variable continue regroupée en intervalles, un histogramme utilise des barres contiguës. Si les classes ont des largeurs différentes, c'est l'aire de chaque barre, et non simplement sa hauteur, qui doit représenter la fréquence ; on utilise une densité appropriée. Déclare toujours les frontières des classes pour qu'aucune observation ne reste sans classe ou dans deux classes.

Un graphique nécessite un titre, des axes, des unités et des échelles lisibles. Tronquer l'axe vertical d'un diagramme à barres peut exagérer les différences visuelles. Regrouper les données facilite la lecture, mais perd l'information sur les valeurs à l'intérieur de chaque classe. Une moyenne calculée avec les centres de classes est généralement une approximation, et non la moyenne exacte des données d'origine.

Moyenne, médiane et mode répondent à des questions différentes

La moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par le nombre d'observations : x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n. Elle peut s'interpréter comme une redistribution égale du total. Si chaque valeur xᵢ apparaît fᵢ fois, la moyenne est la somme des produits fᵢxᵢ divisée par la somme des effectifs. On ne fait pas la moyenne simple des moyennes de groupes de tailles différentes.

La médiane exige de trier les données. Pour n impair, c'est la valeur centrale ; pour n pair, la moyenne des deux valeurs centrales. Le mode est une valeur d'effectif maximal et peut ne pas être unique. Dans la liste 2, 3, 3, 4, 18, la moyenne vaut 30/5 = 6, la médiane 3 et le mode 3. La valeur extrême 18 tire la moyenne, bien que quatre des cinq données soient entre 2 et 4.

Il n'existe pas une mesure toujours meilleure. La moyenne utilise toutes les valeurs et est utile pour les totaux ; la médiane décrit une position centrale moins sensible à la grandeur des valeurs extrêmes ; le mode peut décrire la catégorie la plus fréquente. Une conclusion doit indiquer la mesure utilisée et montrer, lorsque cela est pertinent, la forme de la distribution.

Une même moyenne peut masquer la variabilité

Les listes 4, 5, 6 et 0, 5, 10 ont une moyenne de 5, mais la seconde est plus dispersée. L'étendue est le maximum moins le minimum : 2 dans la première et 10 dans la seconde. Cette mesure n'utilise que deux valeurs. L'écart interquartile, Q₃ − Q₁, décrit la dispersion de la moitié centrale ; la méthode de calcul des quartiles doit être déclarée, car il existe différentes conventions pour les petits échantillons.

L'écart type utilise les écarts à la moyenne. Pour une population complète de N valeurs, la variance vaut σ² = [Σ(xᵢ − μ)²]/N et l'écart type σ = √σ². Le symbole Σ signifie additionner les termes indiqués et μ est la moyenne de la population. Les carrés empêchent l'annulation des écarts positifs et négatifs. La racine redonne l'unité d'origine des données.

Lorsque nous utilisons un échantillon de n > 1 valeurs pour estimer la variance de la population, la formule habituelle est s² = [Σ(xᵢ − x̄)²]/(n − 1), et s = √s². Le dénominateur différent répond à l'objectif d'estimation ; il faut indiquer la formule utilisée. Un écart type nul signifie que toutes les valeurs sont égales, et non que la moyenne est nulle.

Résultats, événements et fréquences observées

L'univers Ω rassemble les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Un événement A est un sous-ensemble de Ω. La probabilité P(A) est comprise entre 0 et 1, avec P(Ω) = 1. Si les résultats élémentaires sont en nombre fini et équiprobables, P(A) = nombre de résultats favorables divisé par nombre de résultats possibles. L'équiprobabilité est une hypothèse et ne résulte pas de la simple liste des résultats.

Pour un dé idéal à six faces, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L'événement « pair » contient trois résultats, donc une probabilité de 3/6 = 1/2. Le complémentaire Aᶜ rassemble les résultats n'appartenant pas à A et a pour probabilité 1 − P(A). Dans l'union A ∪ B, il suffit que l'un se produise ; dans l'intersection A ∩ B, les deux doivent se produire.

La règle P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) soustrait la partie comptée deux fois. Une fréquence observée de 47 résultats pairs sur 100 lancers vaut 0,47 et ne modifie pas automatiquement la probabilité théorique 0,5. Sur de nombreuses répétitions indépendantes sous le même modèle, les fréquences relatives tendent à se rapprocher de la probabilité ; une séquence de résultats n'a pas à être immédiatement compensée.

Probabilité conditionnelle : qui reste au dénominateur

P(A | B) signifie la probabilité de A sachant que B s'est produit. L'information restreint l'univers à B. Le dénominateur devient donc la probabilité de B, qui doit être positive :

Si nous choisissons un élève au hasard parmi 40, dont 25 utilisent les transports collectifs et 10 de ces 25 arrivent avant 7 heures, la probabilité d'arriver avant 7 heures sachant qu'il utilise les transports collectifs vaut 10/25. Diviser par 40 répondrait à « utilise les transports collectifs et arrive avant 7 heures », et non à la question conditionnelle.

La règle de multiplication est P(A ∩ B) = P(B)P(A | B). A et B sont indépendants lorsque connaître l'un ne change pas la probabilité de l'autre ; cela équivaut à P(A ∩ B) = P(A)P(B). Ils sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire ensemble, c'est-à-dire si A ∩ B est vide. Deux événements incompatibles de probabilités positives ne sont pas indépendants : savoir que l'un s'est produit rend l'autre impossible.

Lors des tirages sans remise, la composition de l'ensemble change et les probabilités suivantes doivent être recalculées. Avec remise et nouvelle sélection aléatoire dans les mêmes conditions, nous pouvons avoir l'indépendance. L'hypothèse doit être justifiée ; « ils se produisent à des moments différents » ne suffit pas.

Corrélation, causalité et lecture critique

Un nuage de points place des couples d'observations (x, y) et aide à voir une association positive, négative, une absence de tendance linéaire ou une relation courbe. Le coefficient de corrélation linéaire r, lorsqu'il est défini, varie de −1 à 1 et décrit la direction et la force de l'association linéaire. Une valeur proche de zéro n'exclut pas une relation non linéaire.

La corrélation ne démontre pas la causalité. Dans une observation hypothétique, des élèves étudiant davantage d'heures peuvent obtenir de meilleurs résultats, mais la motivation, le soutien disponible ou les connaissances antérieures peuvent influencer les deux variables. Il peut aussi y avoir une causalité inverse ou une sélection des participants. Une droite ajustée décrit une association ; elle ne prouve pas que modifier x seul produira le changement prévu de y.

Avant de généraliser, demande qui a été observé, comment les données ont été obtenues, quelles comparaisons sont justes et quels facteurs ont été omis. N'extrapole pas une tendance à des âges, des temps ou des quantités très au-delà des données sans raison supplémentaire. Une réponse statistique responsable combine le calcul, la description des conditions et des limites claires de ce que les observations permettent de conclure.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Un grand échantillon élimine tout biais.

Une sélection systématiquement partielle peut conserver un biais même avec de nombreuses observations.

La moyenne décrit toute la distribution.

Il faut examiner la dispersion, l'asymétrie, les extrêmes et le contexte.

Dans une probabilité conditionnelle, on divise toujours par le total initial.

On divise par l'ensemble ou la probabilité de la condition connue.

L'indépendance signifie que deux événements ne peuvent pas se produire ensemble.

C'est l'incompatibilité ; l'indépendance signifie que l'information sur l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.

La corrélation prouve qu'une variable cause l'autre.

L'association observée admet des facteurs de confusion, une causalité inverse et d'autres explications.