Работа и сохранение энергии

Что ты поймёшь

Вычислять работу и понимать знак и площадь на графике силы от перемещения.
Выводить и применять теорему о работе и кинетической энергии.
Выбирать уровни отсчёта потенциальной энергии.
Использовать сохранение энергии с рассеянием и без него.
Связывать энергию, мощность и КПД.

Перед началом

Не нужно помнить всё наизусть. Объяснение возвращается к нужным идеям и показывает их связи. Если какая-то основа ещё неясна, можно вернуться к этим урокам:

Составляющая вдоль перемещения

Для постоянной силы, действующей на частицу, W = Fd cos θ. F — модуль силы в N; d — модуль перемещения в m; θ — угол между силой и перемещением. Произведение F cos θ — составляющая, параллельная перемещению. Перпендикулярная составляющая не вносит вклад в эту работу, даже если меняет направление скорости.

Работа измеряется в джоулях: 1 J = 1 N·m. Она положительна, когда составляющая силы направлена вдоль перемещения, и отрицательна, когда противоположно. Знак выражает направление передачи в энергетической модели, а не наличие человеческого усилия. Сила может существовать и не совершать работу на определённом участке.

Если сила меняется вдоль прямого пути, раздели путь на малые участки, оцени произведение параллельной силы на перемещение на каждом и сложи. На графике параллельной силы от x сумма соответствует площади со знаком. Для идеальной пружины, сила которой линейно растёт с деформацией, возникает треугольная площадь вместо прямоугольной.

Почему появляется mv²/2?

Рассмотрим постоянную равнодействующую вдоль движения массы m. По второму закону равнодействующая F = ma. Из кинематики постоянного ускорения v² − v₀² = 2aΔx. Умножение на m/2 даёт maΔx = mv²/2 − mv₀²/2. Слева — работа равнодействующей.

Определим кинетическую энергию поступательного движения K = mv²/2. Тогда работа равнодействующей W = ΔK. Хотя краткий вывод использует простую ситуацию, теорема имеет более общую силу для частицы в ньютоновской механике. Для протяжённых тел с вращением и деформацией нужно включать соответствующие формы энергии.

Сумма работ принципиальна. Если тяга совершает +80 J, а трение −80 J, ΔK = 0 даже при реальных передачах энергии. Теорема не утверждает, что работа любой отдельной силы равна ΔK. Она также не даёт непосредственно направление скорости: K зависит от квадрата модуля скорости и является скаляром.

Потенциальная энергия и консервативные силы

Сила консервативна, если её работа между двумя точками зависит только от концов пути. Тогда можно определить потенциальную энергию U так, что работа консервативной силы W = −ΔU. Примеры — сила тяжести и сила идеальной пружины. Работа трения, напротив, обычно зависит от пути и не выражается единственной потенциальной энергией положения.

Вблизи поверхности Земли при практически постоянном g гравитационная U = mgh. В этом уроке используй g = 9,8 m/s². Уровень h = 0 выбирается для удобства; его изменение добавляет одну константу ко всем значениям и не меняет ΔU. Потенциальная энергия принадлежит конфигурации системы тело—Земля, даже когда мы сокращённо говорим «энергия тела».

У идеальной пружины, подчиняющейся F = −kx, x — деформация относительно равновесной длины, k — жёсткость в N/m. Работа квазистатической деформации — площадь треугольника на графике приложенной силы от деформации: упругая U = kx²/2. Соотношение требует деформаций в линейной упругой области.

Построение уравнения сохранения

Разделяем работу равнодействующей W на работу консервативных сил и остальных сил. Поскольку работа консервативных сил = −ΔU, получаем ΔK + ΔU = работа остальных сил. Если она нулевая, K + U постоянно. Это сохранение механической энергии в выбранной модели.

На наклонной плоскости без трения может действовать большая нормальная реакция, а механическая энергия всё же сохраняется, поскольку реакция перпендикулярна перемещению в каждой точке и не совершает работу над частицей. Форма плоскости может менять силы и время спуска, не меняя конечный модуль скорости при той же разности высот и начальной энергии.

Равенство начальная K + начальная U = конечная K + конечная U должно сопровождаться допущениями. Например, пренебрежимо малым сопротивлением воздуха, неподвижной опорой и отсутствием других передач. Не путай условие «без трения» с автоматической гарантией: внешний двигатель всё ещё может сообщать энергию системе.

Когда механическая энергия уменьшается

Трение может превращать механическую энергию во внутреннюю энергию контактирующих тел. Для постоянной силы трения скольжения против движения на расстояние d работа равна −fd. Полная энергия достаточно широкой системы сохраняется, но K + U может уменьшаться.

Запиши явный баланс: начальная механическая энергия + сообщённая энергия = конечная механическая энергия + увеличение внутренней энергии + другие оттоки энергии. Не вся возникшая внутренняя энергия остаётся в одном теле; распределение зависит от материалов и условий. Слова «были потери» должны означать потерю полезной механической энергии в модели, а не уничтожение энергии.

Не учитывай одну передачу дважды. Можно рассматривать трение как внешнюю работу над телом или включить поверхности в систему и учитывать внутреннюю энергию. Выбор границы определяет члены уравнения. Физически ясное уравнение важнее неизменного использования формулы с одними названиями.

Мощность, КПД и проверка

Средняя мощность P = переданная E/Δt в ваттах. Если известны сила и скорость её точки приложения, мгновенная мощность P = Fv cos θ. Второе соотношение показывает, что одна сила может передавать энергию с разной скоростью в зависимости от скорости движения.

КПД η — полезная энергия/полученная энергия или полезная мощность/полученная мощность при сравнении одного режима. Он безразмерен и обычно выражается в процентах. КПД 75% означает, что из каждых полученных 100 J величина 75 J относится к выходу, определённому как полезный; остальные не исчезли.

Проверяй единицы, знак и масштаб. Энергия поступательного движения не может быть отрицательной; потенциальная может в зависимости от уровня отсчёта. Отрицательное подкоренное выражение обычно указывает на невозможное допущение или ошибку баланса. Если нет высоты, ищи разности высот; если нет времени, энергия может быть кратчайшим путём; если вопрос о длительности, возможно, понадобится ещё динамика.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Пример 1

Наклонная сила и трение

Сила 40 N образует угол 60° с горизонтальным перемещением 3,0 m. Сила трения 8 N направлена противоположно. Вычисли работы и ΔK.

Параллельная составляющая силы 40 cos 60° = 20 N; её работа 20 × 3 = 60 J.
Трение совершает работу W = −8 × 3 = −24 J. При горизонтальном перемещении и остальных вертикальных силах их работа нулевая.
Сумма 60 − 24 = 36 J, значит ΔK = +36 J.

Результат

Работа приложенной силы 60 J; трения −24 J; увеличение K на 36 J.

Проверить результат

Использование 40 × 3 игнорировало бы направление. Увеличение кинетической энергии меньше энергии, переданной приложенной силой.

Пример 2

Спуск без трения

Тележка начинает из покоя и спускается на разность высот 1,8 m без трения и сопротивления воздуха. Вычисли конечный модуль скорости при g = 9,8 m/s².

Выбери конечную U = 0 и используй начальную K = 0.
Сохранение даёт mg × 1,8 = mv²/2. Масса сокращается.
v = √(2 × 9,8 × 1,8) = √35,28 ≈ 5,94 m/s.

Результат

v ≈ 5,9 m/s.

Проверить результат

Модуль скорости зависит от разности высот, а не длины наклонной плоскости в этой модели. Большая масса получает больше K, но имеет то же v.

Пример 3

Пружина и кинетическая энергия

Идеальная пружина с k = 200 N/m сжата на 0,15 m и после освобождения разгоняет брусок массой 0,50 kg на полу без трения. Каков модуль скорости бруска, когда пружина возвращается в положение равновесия?

Начальная запасённая энергия U = kx²/2 = 200 × 0,15²/2 = 2,25 J.
В положении равновесия пружины эта энергия переходит в K бруска в модели без потерь.
2,25 = 0,50v²/2, поэтому v² = 9 и v = 3,0 m/s.

Результат

v = 3,0 m/s.

Проверить результат

Энергия положительна при сжатии и растяжении, поскольку зависит от x². Сила пружины непостоянна при освобождении.

Пример 4

Энергия, полученная двигателем

Двигатель получает 1200 J за 5,0 s и выдаёт 900 J полезной работы. Определи КПД и средние мощности.

КПД η = 900/1200 = 0,75 = 75%.
Получаемая мощность 1200/5 = 240 W; полезная 900/5 = 180 W.
Разность энергий 300 J соответствует средней мощности 60 W, приходящейся на другие преобразования или оттоки энергии.

Результат

η = 75%; получаемая мощность 240 W; полезная 180 W.

Проверить результат

180/240 = 0,75 подтверждает КПД. Полезная и оставшаяся энергии в сумме дают полученные 1200 J.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.