Круговое движение и тяготение

Оборот можно описать углом

На окружности радиусом r дуге длиной s соответствует центральный угол θ = s/r в радианах. Один радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Поскольку длина окружности 2πr, полный оборот соответствует 2π rad, или 360°. Перевод необходим: соотношения s = rθ и v = rω предполагают радианы.

Если тело проходит равные углы за равные времена, угловая скорость ω постоянна, движение по окружности равномерно. Её модуль ω = Δθ/Δt в rad/s. Тангенциальный модуль скорости v = rω в m/s. Тела на одном жёстком диске имеют одну ω, но более удалённые от оси точки имеют большую v.

Период T — время оборота в s, частота f — число оборотов в секунду в Hz. Поскольку оборот 2π rad, ω = 2π/T = 2πf и v = 2πr/T. Соотношения связывают временное описание с геометрией траектории.

Постоянный модуль скорости — не постоянная скорость

Мгновенная скорость касательна к окружности. При движении тела эта касательная меняет направление. Даже при постоянной длине вектора скорости он меняется, поэтому есть ускорение. «Равномерность» здесь относится к модулю скорости, а не постоянству всего вектора.

Сравни близкие моменты, разделённые малым углом Δθ. Треугольник векторов скорости подобен треугольнику радиусов. Для малых интервалов |Δv|/v приближается к Δs/r. Деление на Δt с использованием Δs/Δt = v даёт центростремительное a = v²/r.

В пределе всё более близких моментов ускорение направлено к центру окружности. Можно также написать центростремительное a = ω²r. Единица v²/r — (m²/s²)/m = m/s². Ускорение не направлено по скорости: при равномерном движении по окружности оно перпендикулярно ей.

Центростремительность — роль равнодействующей

По второму закону сумма составляющих сил в радиальном направлении равна mv²/r к центру. «Центростремительная сила» — название этой роли равнодействующей; это не новое взаимодействие для добавления на схему. Её могут обеспечивать натяжение, тяжесть, трение, нормальная реакция или сочетание.

На плоском горизонтальном повороте трение шины о дорогу может обеспечивать горизонтальную равнодействующую к центру. Для тела на верёвке в идеализированном горизонтальном вращении натяжение может обеспечивать радиальную силу. Для спутника это тяготение. Всегда определяй тела, создающие реальные силы.

Выбор направления к центру как положительного радиального помогает записать ΣF радиальная = mv²/r. На вертикальной окружности сила тяжести может в одной точке помогать направлению к центру, а в другой противодействовать. Натяжение не обязано быть одинаковым весь оборот. Если расчёт требует отрицательного натяжения, модель натянутой верёвки больше не верна.

Когда модуль скорости тоже меняется

При неравномерном круговом движении есть две составляющие ускорения: радиальная модулем v²/r, меняющая направление, и тангенциальная, описывающая изменение модуля скорости. Они перпендикулярны. Полный модуль можно найти по теореме Пифагора, если известны обе.

При равномерном круговом движении равнодействующая перпендикулярна скорости и не совершает работу над частицей: кинетическая энергия постоянна. Поэтому сила может менять движение без изменения K. Эта связь объясняет разницу между изменением вектора и только его модуля.

Если связь, поддерживающая поворот, исчезнет, тело не продолжит автоматически двигаться по окружности. В идеализированный момент прекращения значимых сил оно следует по касательной с имевшейся скоростью. Представление о реальной силе, бросающей его радиально наружу, не относится к схеме в инерциальной системе отсчёта.

Одно взаимодействие связывает близкие и далёкие тела

Закон всемирного тяготения даёт F = GMm/r² для точечных масс или сферически симметричных тел, находящихся вне друг друга. M и m — массы в kg, r — расстояние центров в m, G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Сила притягивающая, каждое тело действует на другое силой того же модуля.

Расстояние — не высота над землёй. Для тела на высоте h над сферической планетой радиусом R расстояние r = R + h. Модуль гравитационного поля g(r) = GM/r². Приближение постоянного g для малых падений работает, поскольку h очень мало по сравнению с R.

Удвоение r уменьшает F вчетверо; удвоение одной массы удваивает F. Тяготение слабо между малыми предметами, но может определять астрономические движения из-за больших масс. Выражение перестаёт правильно описывать протяжённое тело, если мы внутри распределения его массы без учёта этого распределения.

Круговая орбита — непрерывное падение

Для спутника массы m на круговой орбите, пренебрегая другими взаимодействиями и считая M намного большей, тяготение обеспечивает всю радиальную равнодействующую: GMm/r² = mv²/r. Масса m сокращается, получаем v = √(GM/r). Это не означает отсутствия тяготения; именно оно искривляет движение.

Поскольку T = 2πr/v, получаем T² = 4π²r³/(GM). Для орбит вокруг одной центральной массы T² пропорционально r³. Более далёкие тела имеют меньший модуль скорости круговой орбиты и больший период. Нельзя задавать одну v всем орбитам без анализа доступной силы.

Невесомость в спутнике возникает, поскольку астронавты и корабль вместе свободно падают. Нулевое g не требуется. Реальные орбиты могут быть эллиптическими; тогда модуль скорости меняется и выражения круговой орбиты нельзя применять в каждой точке без изменения. Законы Кеплера описывают эту более широкую геометрию, круговая орбита — частный случай.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Постоянный модуль скорости означает нулевое ускорение.

Направление скорости может меняться, создавая центростремительное ускорение.

Центростремительность — дополнительное взаимодействие.

Это роль радиальной равнодействующей реальных сил.

Спутник невесом, поскольку тяготения нет.

Он свободно падает, а тяготение обеспечивает орбитальное ускорение.

r в законе тяготения — высота над землёй.

Это расстояние между центрами в сферической модели.