Линейные и квадратичные функции

Повторение: значение, разность и скорость

Функция сопоставляет каждому допустимому аргументу значение. Для разных аргументов x₁ и x₂ средняя скорость равна [f(x₂) − f(x₁)]/(x₂ − x₁). Частное отличает полное изменение от изменения на единицу аргумента. Если стоимость возрастает на 600 Kz при увеличении количества на три единицы, средняя скорость равна 200 Kz на единицу.

Подстановка значения и решение условия — разные задачи. Для C(n) = 200n + 500 вычисление C(4) = 1300 находит стоимость четырёх единиц. Решение C(n) = 1300 ищет соответствующее количество и даёт n = 4. График объединяет эти пары, но понимание зависит от осей и единиц.

Сравнение требует одинакового смысла переменных. Нельзя напрямую сравнивать функцию дневной стоимости с месячной, не согласовав аргумент и значение. Перед вычислениями запиши, что измеряют x и y и какие значения x осмысленны. Такая дисциплина делает параметры понятными.

Аффинная функция и смысл наклона

Аффинная функция имеет вид f(x) = mx + p, где m и p действительны. Параметр p = f(0) — ордината пересечения с осью. Для любых разных аргументов a и b, [f(b) − f(a)]/(b − a) = [m(b − a)]/(b − a) = m. Значит, m — постоянная скорость изменения, а график — прямая. При p = 0 функция также выражает прямую пропорциональность, которую в этом соглашении часто называют линейной.

При m > 0 прямая возрастает; при m < 0 убывает; при m = 0 функция постоянна. При m ≠ 0 нуль находится из mx + p = 0, откуда x = −p/m. Вертикальная прямая x = a не является графиком функции y от x, поскольку одной абсциссе соответствуют разные ординаты.

Коэффициенты имеют смысл в контексте. В C(n) = 150n + 800, где C в Kz, а n в единицах, 800 Kz — фиксированная стоимость, а 150 Kz/единица — стоимость каждой дополнительной единицы. Ордината пересечения может быть физически бессмысленной экстраполяцией, если ноль не принадлежит области реальной ситуации; всегда понимай её в свете модели.

Квадратичное изменение и вторые разности

У квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, средняя скорость между x и x + h равна a(2x + h) + b при h ≠ 0. Достаточно раскрыть f(x + h) − f(x) и разделить на h. Наличие x объясняет отсутствие постоянного наклона для всей параболы. Коэффициент a играет иную роль, чем m у прямой.

При одинаковых шагах h первые разности меняются, а разности этих разностей постоянны и равны 2ah². Для f(x) = x² при x = 0, 1, 2, 3 значения равны 0, 1, 4, 9; первые разности — 1, 3, 5, вторые — 2, 2. Эта закономерность помогает распознать данные, согласующиеся с квадратичной моделью.

Согласованность не означает доказательства для всех аргументов. Несколько точек могут лежать на разных кривых; измерения включают ошибки. Если значение выражено в m², а аргумент — в m, коэффициент при x² может быть безразмерным, а коэффициенты остальных членов должны иметь единицы, превращающие все слагаемые в площади. Величины несовместимых размерностей не складывают.

Преобразования и каноническая форма

Запись f(x) = a(x − h)² + k показывает эталонную параболу, сдвинутую горизонтально к h и вертикально к k, с вертикальным масштабом |a| и отражением при a < 0. Вершина — (h, k). Обращай внимание на знак в скобках: (x + 3)² = (x − (−3))² сдвигает вершину к x = −3.

Для перехода от развёрнутой формы к канонической выдели полный квадрат. Например, 2x² − 12x + 11 = 2(x² − 6x) + 11 = 2[(x − 3)² − 9] + 11 = 2(x − 3)² − 7. Поэтому вершина — (3, −7), ось — x = 3, множество значений на области ℝ — [−7, +∞[.

Изменение c при неизменных a и b сдвигает кривую вертикально. Изменение b при неизменных a и c перемещает ось и меняет высоту вершины. Поэтому не стоит заучивать, что каждый коэффициент «двигает кривую» в одном направлении. Формулы h = −b/(2a) и k = f(h) объясняют совместный эффект.

Нули, знак и квадратные неравенства

Дискриминант Δ = b² − 4ac показывает число действительных нулей. При Δ > 0 обозначь упорядоченные корни r₁ и r₂, где r₁ < r₂. В форме a(x − r₁)(x − r₂) можно определить знак каждого множителя на каждом промежутке. При a > 0 функция положительна вне корней и отрицательна между ними. При a < 0 знаки меняются на противоположные.

При Δ = 0 выражение равно a(x − r)²: вне корня знак совпадает со знаком a и не меняется при переходе через r. При Δ < 0 функция не касается горизонтальной оси и сохраняет знак a на всём ℝ. Эти выводы следуют из разложения на множители или канонической формы, а не только из запоминания рисунка.

Решение f(x) ≥ 0 требует промежутков с неотрицательными значениями; корни включаются. Решение f(x) > 0 исключает их. Затем пересекай алгебраическое решение с областью задачи. Если x обозначает предметы, может понадобиться оставить лишь целые числа промежутка. Ответ неравенства — совокупность аргументов.

Пересечения и выбор моделей

Два графика пересекаются там, где у них одинаковые аргумент и значение. Чтобы сравнить f и g, реши f(x) = g(x) или исследуй знак f(x) − g(x). Сравнение прямой и параболы обычно приводит к квадратному уравнению с нулём, одним или двумя действительными пересечениями. Условие f(x) > g(x) соответствует f(x) − g(x) > 0.

В задаче о площади, оптимизации или выручке вершина может дать экстремум. Но для области [a, b] нужно проверить, входит ли абсцисса вершины в промежуток, и сравнить соответствующие границы. При дискретной области следует проверить ближайшие к вершине целые числа. Непрерывный максимум при x = 4,5 не разрешает продавать половину предмета.

Аффинная функция предполагает постоянный абсолютный прирост; квадратичная — определённый способ изменения этого прироста. Ни одну нельзя бесконечно продолжать лишь потому, что она подходит к нескольким данным. Выбор модели требует основания: геометрической связи, заданного тарифа или закономерности, подкреплённой достаточной информацией.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Любая аффинная функция — прямая пропорциональность.

Прямая пропорциональность требует нулевой ординаты пересечения с осью.

Коэффициент a квадратичной функции — её постоянный наклон.

Средняя скорость зависит от промежутка; a регулирует кривизну и направление ветвей.

В квадратном неравенстве достаточно указать корни.

Корни разграничивают промежутки; нужно исследовать знак и включить или исключить границы.

Непрерывный максимум всегда решает задачу подсчёта.

Подсчёт требует целых аргументов; сравни допустимые значения рядом с вершиной.