Movimento circular e gravitação

Uma volta pode ser descrita por um ângulo

Numa circunferência de raio r, um arco de comprimento s corresponde ao ângulo θ = s/r em radianos. Um radiano é o ângulo que subtende um arco igual ao raio. Como o perímetro é 2πr, uma volta completa corresponde a 2π rad, equivalentes a 360°. A conversão é essencial: as relações s = rθ e v = rω pressupõem radianos.

Se o corpo percorre ângulos iguais em tempos iguais, a velocidade angular ω é constante e o movimento circular é uniforme. O seu módulo é ω = Δθ/Δt, em rad/s. A rapidez tangencial é v = rω, em m/s. Corpos no mesmo disco rígido têm a mesma ω, mas pontos mais afastados do eixo têm maior v.

Período T é a duração de uma volta, em s, e frequência f é o número de voltas por segundo, em Hz. Como uma volta mede 2π rad, ω = 2π/T = 2πf e v = 2πr/T. Estas relações ligam uma descrição temporal à geometria da trajetória.

Rapidez constante não é velocidade constante

A velocidade instantânea é tangente à circunferência. À medida que o corpo avança, essa tangente muda de direção. Mesmo que o comprimento do vetor velocidade permaneça igual, o vetor muda; portanto existe aceleração. A expressão «uniforme» refere-se aqui ao módulo da velocidade, não à constância do vetor completo.

Compara dois instantes próximos separados por pequeno ângulo Δθ. O triângulo formado pelos vetores velocidade é semelhante ao triângulo formado pelos raios. Assim, para pequenos intervalos, |Δv|/v aproxima-se de Δs/r. Dividindo por Δt e usando Δs/Δt = v, resulta a centrípeta = v²/r.

No limite de instantes cada vez mais próximos, a aceleração aponta para o centro da circunferência. Também se pode escrever a centrípeta = ω²r. A unidade v²/r é (m²/s²)/m = m/s². A aceleração não aponta no sentido da velocidade: é perpendicular a ela no movimento circular uniforme.

Centrípeta é o papel da resultante

Pela segunda lei, a soma das componentes das forças na direção radial vale mv²/r, orientada para o centro. «Força centrípeta» é o nome desse papel da resultante; não é uma nova interação para acrescentar ao diagrama. Pode ser fornecida pela tensão, gravidade, atrito, normal ou uma combinação.

Numa curva horizontal plana, o atrito entre pneu e estrada pode fornecer a resultante horizontal para o centro. Num corpo preso a uma corda em rotação horizontal idealizada, a tensão pode fornecer a força radial. Num satélite, é a gravidade. Identifica sempre quais corpos exercem as forças reais.

Escolher o centro como sentido radial positivo ajuda a escrever ΣF radial = mv²/r. Se o movimento ocorre numa circunferência vertical, o peso pode contribuir para o centro num ponto e contra o centro noutro. A tensão não precisa ter o mesmo valor em toda a volta. Se uma conta exige tensão negativa numa corda, o modelo de corda esticada deixou de ser válido.

Quando a rapidez também muda

Num movimento circular não uniforme há duas componentes de aceleração: radial, de módulo v²/r, que muda a direção, e tangencial, que descreve a mudança de rapidez. As duas são perpendiculares. A magnitude total pode obter-se por Pitágoras se ambas forem conhecidas.

Num movimento circular uniforme, a resultante é perpendicular à velocidade e não realiza trabalho sobre a partícula: a energia cinética mantém-se constante. Uma força pode, por isso, alterar o movimento sem alterar K. Esta ligação esclarece a diferença entre mudar um vetor e mudar apenas o seu módulo.

Se o vínculo que mantinha a curva desaparecer, o corpo não continua automaticamente na circunferência. Num instante idealizado em que deixam de atuar forças relevantes, segue a direção tangente com a velocidade que tinha nesse instante. A ideia de uma força real que o lança radialmente para fora não pertence ao diagrama num referencial inercial.

A mesma interação liga corpos próximos e distantes

A lei de gravitação universal dá F = GMm/r² para massas pontuais, ou corpos esfericamente simétricos externos um ao outro. M e m são massas em kg, r é distância entre centros em m e G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². A força é atrativa e cada corpo exerce sobre o outro uma força de mesmo módulo.

A distância não é a altura acima do solo. Para um corpo a altura h de um planeta esférico de raio R, r = R + h. O campo gravitacional tem módulo g(r) = GM/r². A aproximação g ≈ constante usada em pequenas quedas funciona porque h é muito pequeno relativamente a R.

Duplicar r reduz F a um quarto; duplicar uma das massas duplica F. A gravidade pode ser fraca entre objetos pequenos e ainda dominar movimentos astronómicos devido às grandes massas. A expressão deixa de tratar um corpo extenso corretamente se estivermos dentro da sua distribuição de massa sem considerar essa distribuição.

Uma órbita circular é uma queda contínua

Para um satélite de massa m em órbita circular, desprezando outras interações e supondo M muito maior, a gravidade fornece toda a resultante radial: GMm/r² = mv²/r. A massa m cancela e obtemos v = √(GM/r). Isso não significa ausência de gravidade; é precisamente a gravidade que curva o movimento.

Como T = 2πr/v, resulta T² = 4π²r³/(GM). Para órbitas em torno da mesma massa central, T² é proporcional a r³. Corpos mais distantes têm menor rapidez orbital circular e maior período. Não se deve impor o mesmo v a todas as órbitas sem analisar a força disponível.

A sensação de imponderabilidade num satélite ocorre porque astronautas e nave estão juntos em queda livre. Não é necessário g ser zero. Órbitas reais podem ser elípticas; nesse caso a rapidez varia e as expressões de órbita circular não se aplicam ponto a ponto sem adaptação. As leis de Kepler descrevem essa geometria mais ampla, e a órbita circular é um caso especial.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

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Erros que vale a pena evitar

Rapidez constante significa aceleração nula.

A direção da velocidade pode mudar, produzindo aceleração centrípeta.

Centrípeta é uma interação adicional.

É o papel da resultante radial das forças reais.

Um satélite está sem peso porque não há gravidade.

Está em queda livre, com gravidade a fornecer a aceleração orbital.

O r da gravitação é a altura ao solo.

É a distância entre centros no modelo esférico.