Vetores e movimento numa dimensão

Grandezas que precisam de orientação

Uma massa de 2 kg ou uma duração de 6 s fica determinada por valor e unidade: são escalares. Um deslocamento de 6 m precisa de orientação: para onde ocorreu? Deslocamento, velocidade, aceleração e força são vetores. Um vetor tem módulo, direção e sentido. Direção pode ser horizontal; os dois sentidos dessa direção podem ser direita e esquerda.

Representamos vetores por setas. O comprimento da seta, numa escala declarada, representa o módulo; a ponta representa o sentido. Numa reta basta escolher um eixo orientado e trabalhar com componentes com sinal. Se positivo é para a direita, v = −4 m/s significa velocidade de módulo 4 m/s para a esquerda.

O módulo de um vetor nunca é negativo. A componente pode sê-lo porque depende da orientação escolhida. Inverter o eixo troca os sinais das componentes sem alterar a experiência física. É por isso que deves declarar o eixo antes de usar equações, em vez de acrescentar sinais por intuição no final.

Somar vetores na mesma direção

A soma vetorial pode ser desenhada colocando a origem de uma seta na ponta da anterior. A resultante liga a origem inicial à ponta final. Deslocar uma seta paralelamente sem mudar comprimento e orientação permite efetuar esta construção para os vetores livres usados nesta descrição do movimento.

Na reta, a construção equivale à soma algébrica das componentes. Um deslocamento de +9 m seguido de −4 m dá +5 m. A distância percorrida é 13 m e não é uma soma vetorial: soma os módulos dos trechos. A subtração A − B é a soma A + (−B); o vetor −B tem mesmo módulo e sentido oposto a B.

Quando os vetores deixam de ser colineares, não podemos somar simplesmente os módulos. Um deslocamento de 3 m para leste seguido de 4 m para norte tem módulo resultante 5 m pelo teorema de Pitágoras, e não 7 m. Nesta aula a análise dinâmica fica numa dimensão, mas a distinção prepara o movimento no plano.

Posição, velocidade e aceleração

Escolhe x(t) como posição em metros e t como tempo em segundos. O deslocamento Δx usa x final menos x inicial. A velocidade média no intervalo é Δx/Δt. A velocidade instantânea é a taxa de variação da posição naquele instante, representada pela inclinação da tangente ao gráfico x(t). A rapidez instantânea é |v|.

A aceleração média é Δv/Δt. A instantânea é a taxa de variação local da velocidade e mede-se em m/s². Num gráfico v(t), a inclinação local representa aceleração. Num gráfico a(t), a área com sinal fornece a variação de velocidade. Repara na cadeia: cada grandeza descreve a mudança da anterior.

Estar em x = 0 não obriga a v = 0. Ter v = 0 num instante não obriga a a = 0: um objeto lançado verticalmente para cima pára instantaneamente no ponto mais alto, mas continua acelerado pela gravidade. Uma condição num instante não equivale a uma condição durante todo um intervalo.

Construir o modelo de aceleração constante

Se a aceleração a é constante, cada intervalo igual de tempo produz a mesma variação de velocidade. A definição a = (v − v₀)/Δt pode ser reorganizada: v = v₀ + aΔt. v₀ é a velocidade no instante inicial t₀; Δt = t − t₀. Só se t₀ = 0 podemos escrever Δt simplesmente como t sem perder informação.

O gráfico v(t) é uma reta. A sua velocidade média nesse intervalo é (v₀ + v)/2, porque a área do trapézio é altura média vezes base. Então Δx = [(v₀ + v)/2]Δt. Substituindo v = v₀ + aΔt, obtemos x = x₀ + v₀Δt + a(Δt)²/2.

Também podemos eliminar o tempo. Multiplicando v − v₀ = aΔt por v + v₀ e usando 2Δx = (v + v₀)Δt, resulta v² − v₀² = 2aΔx. Esta expressão é útil quando não sabemos a duração. As três relações exigem aceleração constante; não são definições universais para qualquer movimento.

A geometria dos gráficos verifica a álgebra

Com aceleração constante não nula, x(t) é uma parábola, v(t) é uma reta inclinada e a(t) é uma linha horizontal. O sinal de a determina a concavidade do gráfico x(t). Contudo, uma parábola crescente pode ter a negativo: começa a subir cada vez menos depressa até atingir declive zero.

A área com sinal sob v(t) é deslocamento. Se v atravessa zero, divide o intervalo no instante da passagem. Para distância, soma os módulos das duas áreas. Não tomes simplesmente o módulo da área total: isso apagaria o percurso feito antes da inversão.

Uma tabela calculada em instantes sucessivos ajuda a reconhecer padrões. Com a constante e passos de 1 s, as diferenças de v são iguais. As diferenças de x não são iguais, pois a posição varia quadraticamente. O gráfico não é um enfeite posterior: pode mostrar uma mudança de sentido que ficaria escondida numa conta feita sem interpretação.

Sinais, paragens e validade

Um corpo abranda quando velocidade e aceleração têm sentidos opostos; acelera em rapidez quando têm o mesmo sentido. «Aceleração negativa» apenas informa o sentido no eixo escolhido. Um veículo em marcha para a esquerda pode ganhar rapidez com v e a ambos negativos.

Para encontrar uma paragem, resolve v = 0. Depois verifica se o instante calculado pertence ao intervalo físico. Uma equação com aceleração negativa pode prever que o veículo continua a inverter o sentido após parar; numa travagem real, o condutor pode alterar a força e a aceleração deixa de ser a mesma. O modelo deve parar onde as condições mudam.

Na queda livre próxima da Terra, desprezando o ar, a aceleração vertical é aproximadamente constante. Com eixo positivo para cima, a = −g e g = 9,8 m/s² nesta aula. A massa não entra nas equações deste modelo. Para objetos com resistência do ar relevante, como uma folha aberta, a hipótese não descreve adequadamente a experiência.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Um vetor negativo tem módulo negativo.

A componente pode ser negativa; o módulo é sempre não negativo.

v = v₀ + at serve para qualquer aceleração.

A forma com produto at exige a constante no intervalo.

A distância é sempre o módulo do deslocamento.

Se houver inversão, soma separadamente os comprimentos dos trechos.