Movimento no plano e lançamento oblíquo

Dois eixos descrevem uma posição

Num plano precisamos de duas coordenadas: r = (x,y). Escolhe uma origem, eixo x horizontal e eixo y vertical positivo para cima. A posição pode ser descrita por uma seta da origem ao corpo; o deslocamento entre instantes tem componentes Δx e Δy. O seu módulo é √[(Δx)² + (Δy)²].

A velocidade também tem componentes vₓ e vᵧ. A rapidez é v = √(vₓ² + vᵧ²). Um componente nulo não obriga o vetor a ser nulo: no ponto mais alto de um lançamento oblíquo, vᵧ = 0 mas vₓ geralmente não é zero. A direção da velocidade é tangente à trajetória.

Se o lançamento tem rapidez v₀ e ângulo θ acima da horizontal, v₀ₓ = v₀ cos θ e v₀ᵧ = v₀ sin θ. Estes resultados vêm da projeção do triângulo retângulo formado pelo vetor e seus componentes. Os componentes conservam unidades de m/s; seno e cosseno não têm unidade. Verifica se a calculadora usa graus ou radianos conforme o ângulo fornecido.

O que faz um corpo ser um projétil no modelo

Após o lançamento e antes do impacto, consideramos que a única força relevante é o peso. Desprezamos resistência do ar, propulsão e efeitos de rotação. Perto da superfície, o campo gravitacional é aproximadamente uniforme. Usaremos g = 9,8 m/s² em todos os exemplos desta aula.

Pela segunda lei, aₓ = 0 e aᵧ = −g. Assim, a velocidade horizontal mantém-se constante e a vertical varia uniformemente. A independência significa que a força vertical não altera diretamente a componente horizontal. Não significa que existem dois corpos ou dois relógios: as componentes são descrições do mesmo corpo durante o mesmo tempo.

Uma bola solta e outra lançada horizontalmente da mesma altura chegam ao solo simultaneamente neste modelo se começam com a mesma velocidade vertical. A segunda avança mais na horizontal, mas esse avanço não atrasa a queda. No mundo real, ar, forma e rotação podem alterar o resultado, especialmente em objetos leves ou em grandes trajetórias.

Construir as equações por componente

Se t = 0 é o instante do lançamento, as equações horizontais são x = x₀ + v₀ₓt e vₓ = v₀ₓ. Como aₓ = 0, não existe termo quadrático em x. A distância horizontal só permite descobrir o tempo se v₀ₓ for diferente de zero e o movimento respeitar este modelo.

Na vertical, aplicamos aceleração constante: y = y₀ + v₀ᵧt − gt²/2 e vᵧ = v₀ᵧ − gt. Também vale vᵧ² = v₀ᵧ² − 2g(y − y₀). Esta última relação evita o tempo, mas perde o sinal de vᵧ ao elevar ao quadrado; a subida ou a descida devem ser identificadas fisicamente.

Para encontrar o instante de um acontecimento, impõe a condição correspondente: topo significa vᵧ = 0; solo significa y igual à altura do solo; passagem por uma parede significa x igual à posição da parede. Resolve primeiro o tempo e usa-o depois na outra componente. Rejeita raízes negativas quando o intervalo estudado começa no lançamento.

Por que a trajetória é parabólica

Quando v₀ₓ ≠ 0, a relação horizontal dá t = (x − x₀)/v₀ₓ. Substituindo na equação vertical, obtém-se y − y₀ = (v₀ᵧ/v₀ₓ)(x − x₀) − [g/(2v₀ₓ²)](x − x₀)². É uma função quadrática da coordenada horizontal: a trajetória é uma parábola no modelo adotado.

A concavidade é voltada para baixo porque o coeficiente do termo quadrático é negativo. A curva desenhada no espaço não é a mesma coisa que um gráfico y(t), embora ambos sejam parabólicos nesta situação. Um usa distância horizontal no eixo; o outro usa tempo. Os eixos e as unidades contam parte essencial da história.

No caso de lançamento exatamente vertical, v₀ₓ = 0 e a eliminação anterior envolve divisão por zero: não se aplica. A trajetória é uma linha vertical, descrita apenas pela equação de y(t). Uma fórmula tem domínio de validade; reconhecer um caso especial é parte da resolução, não um detalhe opcional.

Topo e regresso à altura inicial

No topo, 0 = v₀ᵧ − gt, logo t topo = v₀ᵧ/g para um lançamento inicialmente ascendente. Substituindo na posição, a altura ganha é Δh máxima = v₀ᵧ²/(2g). Trata-se do aumento relativamente ao lançamento; a altura acima do solo ainda inclui y₀.

Se a chegada tem exatamente a altura inicial, a equação vertical dá t(v₀ᵧ − gt/2) = 0. Além da raiz do lançamento t = 0, o tempo de voo é 2v₀ᵧ/g. O alcance horizontal é R = v₀ₓt = v₀² sin(2θ)/g. A simetria da subida e descida depende de regressar ao mesmo nível e de manter as hipóteses do modelo.

Para rapidez inicial fixa e chegada à mesma altura, sin(2θ) atinge o máximo em θ = 45°. Ângulos complementares dão o mesmo alcance ideal, mas alturas e tempos diferentes. Se a chegada está acima ou abaixo do lançamento, a expressão anterior para R e a afirmação dos 45° deixam de ser gerais. Resolve a equação com a diferença de alturas real.

Uma solução deve terminar com interpretação

Organiza dados em dois grupos de componentes, mas usa uma linha de tempo comum. Escreve as condições iniciais e finais com sinais; por exemplo, um ponto 5 m abaixo da origem tem y = −5 m. Não substituas sempre «altura» por um número positivo sem decidir o referencial.

Depois de obter vₓ e vᵧ num instante, calcula o módulo e a direção se a pergunta pede velocidade completa. O ângulo pode obter-se por tan φ = vᵧ/vₓ, mas o quadrante depende dos sinais. Num impacto após uma queda, vᵧ deve ser negativo com o eixo para cima; uma raiz quadrada positiva pode indicar apenas o módulo.

Confere os resultados: t deve ser positivo no voo futuro; o alcance deve ter o sentido de v₀ₓ; no topo a rapidez é |v₀ₓ|, não zero. Uma comparação energética, v² = v₀² − 2g(y − y₀), pode verificar o módulo final quando só a gravidade faz trabalho.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

No topo a velocidade inteira é zero.

Só a componente vertical é zero num lançamento oblíquo usual.

O movimento horizontal atrasa a queda.

Com as hipóteses do modelo, a evolução vertical depende apenas das condições verticais.

45° dá sempre o maior alcance.

A conclusão exige a mesma altura de partida e chegada e o modelo sem ar.