Do triângulo ao círculo trigonométrico

Revisão: razões que conservam o ângulo

Num triângulo retângulo, para um ângulo agudo θ, sen θ é cateto oposto sobre hipotenusa, cos θ é cateto adjacente sobre hipotenusa e tan θ é oposto sobre adjacente. Dois triângulos retângulos com o mesmo θ são semelhantes; por isso as razões não dependem do tamanho. Esta independência permite atribuir números trigonométricos ao próprio ângulo.

Se os catetos medem 8 e 15 e a hipotenusa mede 17, para o ângulo oposto ao lado 8 temos sen θ = 8/17, cos θ = 15/17 e tan θ = 8/15. Pitágoras confirma 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Trocar de ângulo troca os papéis dos catetos, mas não muda a hipotenusa.

O triângulo retângulo habitual só apresenta ângulos agudos, embora possamos rodar uma direção por 120°, por −45° ou por várias voltas. Para estudar esses casos precisamos de um modelo que admita coordenadas negativas e rotações orientadas. Esse modelo é o círculo de raio 1 centrado na origem.

Rotações e a definição de radiano

Um ângulo orientado começa numa semirreta inicial e termina noutra após uma rotação. No plano cartesiano, usamos como início o semieixo positivo de x. O sentido contrário ao dos ponteiros do relógio é positivo; o sentido horário é negativo. Uma volta completa mede 360°, mas essa divisão em graus é uma convenção humana.

O radiano nasce da geometria: se um arco de comprimento s numa circunferência de raio r subtende um ângulo central θ, define-se a medida em radianos por θ = s/r. Como os dois comprimentos usam a mesma unidade, o quociente é adimensional. Podemos escrever «rad» para recordar a convenção angular, especialmente em aplicações físicas.

Uma volta tem comprimento 2πr, logo mede 2π rad. Portanto 180° = π rad e 90° = π/2 rad. Para converter graus em radianos multiplica por π/180; no sentido inverso multiplica por 180/π. A fórmula s = rθ exige θ em radianos. Usar um valor numérico em graus nessa fórmula sem conversão produz uma escala errada.

Coordenadas como seno e cosseno

No círculo unitário x² + y² = 1, roda uma semirreta de ângulo θ a partir do semieixo positivo de x e chama P ao ponto onde ela encontra a circunferência. Define-se cos θ como a abcissa de P e sen θ como a ordenada. A ordem do par é, portanto, P = (cos θ, sen θ).

No primeiro quadrante, baixar uma perpendicular até ao eixo x forma um triângulo retângulo de hipotenusa 1. As coordenadas coincidem com as razões do triângulo: adjacente/1 e oposto/1. Assim, a nova definição prolonga a anterior sem a contradizer. Nos outros quadrantes, as coordenadas fornecem os sinais que comprimentos de catetos não poderiam fornecer.

Quadrantes, ângulos de referência e voltas

No primeiro quadrante, seno e cosseno são positivos. No segundo, o seno é positivo e o cosseno negativo. No terceiro, ambos são negativos. No quarto, o seno é negativo e o cosseno positivo. Podemos recuperar estes sinais pensando apenas em cima/baixo e esquerda/direita, sem precisar de decorar uma frase auxiliar.

Ângulos que diferem de uma volta inteira terminam no mesmo ponto. Assim, sen(θ + 2kπ) = sen θ e cos(θ + 2kπ) = cos θ para todo inteiro k. Por exemplo, 390° e 30° diferem de 360° e têm as mesmas coordenadas. Isso não significa que as rotações percorridas sejam iguais; significa que o ponto final coincide.

O ângulo de referência é o ângulo agudo formado com o eixo horizontal, quando o lado final não está num eixo. Para 150°, a referência é 30°: o ponto está à esquerda e acima, logo sen 150° = sen 30° e cos 150° = −cos 30°. A reflexão no eixo x dá sen(−θ) = −sen θ e cos(−θ) = cos θ. Os sinais são consequência das simetrias.

Construir valores exatos e identidades

Um triângulo retângulo isósceles com catetos 1 tem hipotenusa √2; logo sen 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2. Para 30° e 60°, corta ao meio um triângulo equilátero de lado 2: obténs hipotenusa 2, cateto menor 1 e altura √3. Daí sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2.

Nos eixos, as coordenadas dão diretamente cos 0 = 1 e sen 0 = 0; cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1; cos π = −1 e sen π = 0. Estes valores fazem parte da definição no círculo, sem necessitar de um triângulo com cateto positivo em cada direção.

Substituir x = cos θ e y = sen θ em x² + y² = 1 dá cos² θ + sen² θ = 1. A escrita sen² θ significa (sen θ)², não sen(θ²). Define-se tan θ = sen θ/cos θ quando cos θ ≠ 0. Por isso a tangente não existe em θ = π/2 + kπ, para k inteiro. A identidade não autoriza ignorar o sinal ao recuperar seno ou cosseno de um quadrado.

Do círculo unitário a um raio qualquer

Se a circunferência tiver raio r e centro na origem, um ponto de ângulo θ tem coordenadas (r cos θ, r sen θ). É uma ampliação do círculo unitário pelo fator r. Para r = 10 m e θ = 60°, obtemos x = 5 m e y = 5√3 m. A distância à origem confirma √(25 + 75) = 10 m.

A área de um setor circular também acompanha a fração da volta: A = (θ/(2π))πr² = r²θ/2, com θ em radianos para a expressão final. Um ângulo de π/3 representa um sexto de volta, por isso o seu arco mede um sexto do perímetro e o setor ocupa um sexto da área do disco.

Para cálculos aproximados, confirma o modo DEG ou RAD da calculadora. sen(30°) = 0,5, mas sen(30 rad) não é 0,5. Mantém π nas respostas exatas sempre que possível; arredondar π antes de terminar introduz erro desnecessário. Se a informação inclui um quadrante, usa-a para escolher o sinal da raiz ao aplicar a identidade fundamental.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Radianos são outro nome para graus.

São outra medida da mesma abertura; uma volta vale 360° ou 2π rad.

O ponto do círculo é (seno, cosseno).

A ordem cartesiana é (cosseno, seno).

Uma raiz positiva serve sempre ao recuperar o cosseno.

O quadrante decide se o cosseno é positivo ou negativo.

A tangente existe em todos os ângulos.

É um quociente e exige cosseno diferente de zero.