Funções afins e quadráticas

Revisão: saída, diferença e taxa

Uma função associa cada entrada admissível a uma saída. Para duas entradas x₁ e x₂ distintas, a taxa média é [f(x₂) − f(x₁)]/(x₂ − x₁). O quociente distingue uma mudança total de uma mudança por unidade de entrada. Se um custo aumenta 600 Kz quando a quantidade aumenta três unidades, a taxa média é 200 Kz por unidade.

Substituir um valor e resolver uma condição são tarefas diferentes. Para C(n) = 200n + 500, C(4) = 1300 calcula o custo de quatro unidades. Resolver C(n) = 1300 procura a quantidade correspondente e dá n = 4. Um gráfico reúne estes pares, mas a interpretação depende dos eixos e das unidades.

Uma comparação exige o mesmo significado para as variáveis. Não podemos comparar diretamente uma função de custo diário com outra de custo mensal sem harmonizar a entrada e a saída. Antes das contas, escreve o que x mede, o que y mede e que valores de x fazem sentido. Esta disciplina torna os parâmetros compreensíveis.

A função afim e o significado do declive

Uma função afim escreve-se f(x) = mx + p, com m e p reais. O parâmetro p = f(0) é a ordenada na origem. Para quaisquer entradas distintas a e b, [f(b) − f(a)]/(b − a) = [m(b − a)]/(b − a) = m. Assim, m é a taxa de variação constante e o gráfico é uma reta. Se p = 0, a função é também de proporcionalidade direta, frequentemente chamada linear nesta convenção.

Se m > 0, a reta é crescente; se m < 0, é decrescente; se m = 0, a função é constante. Para m ≠ 0, o zero resolve mx + p = 0, logo x = −p/m. Uma reta vertical, x = a, não é gráfico de uma função y de x, pois a mesma abcissa admite várias ordenadas.

Os coeficientes têm significado contextual. Em C(n) = 150n + 800, com C em Kz e n em unidades, 800 Kz é um custo fixo e 150 Kz/unidade é o custo por unidade adicional. Uma ordenada na origem pode ser uma extrapolação sem sentido físico se zero não pertencer ao domínio real da situação; lê-a sempre à luz do modelo.

A variação quadrática e as diferenças segundas

Numa quadrática f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, a taxa média entre x e x + h é a(2x + h) + b, para h ≠ 0. Basta desenvolver f(x + h) − f(x) e dividir por h. A presença de x mostra por que não existe um declive constante para toda a parábola. O coeficiente a não desempenha o mesmo papel que m numa reta.

Para passos iguais de tamanho h, as primeiras diferenças variam e as diferenças entre essas diferenças são constantes, iguais a 2ah². Em f(x) = x², para x = 0, 1, 2, 3, as saídas são 0, 1, 4, 9; as primeiras diferenças são 1, 3, 5 e as segundas são 2, 2. Este padrão ajuda a reconhecer dados compatíveis com um modelo quadrático.

Compatível não significa provado para todas as entradas. Poucos pontos podem pertencer a várias curvas; dados medidos incluem erros. Para uma grandeza de saída em m² e entrada em m, o coeficiente de x² pode ser adimensional, enquanto os coeficientes dos outros termos precisam das unidades necessárias para que todas as parcelas sejam áreas. Não se somam grandezas de dimensões incompatíveis.

Transformações e forma canónica

A escrita f(x) = a(x − h)² + k mostra uma parábola de referência deslocada horizontalmente para h e verticalmente para k, com escala vertical |a| e reflexão se a < 0. O vértice é (h, k). O sinal dentro do parêntese exige atenção: (x + 3)² = (x − (−3))² desloca o vértice para x = −3.

Para passar da forma desenvolvida à canónica, completa o quadrado. Por exemplo, 2x² − 12x + 11 = 2(x² − 6x) + 11 = 2[(x − 3)² − 9] + 11 = 2(x − 3)² − 7. Portanto, o vértice é (3, −7), o eixo é x = 3 e a imagem no domínio ℝ é [−7, +∞[.

Alterar c, mantendo a e b, desloca a curva verticalmente. Alterar b, mantendo a e c, move o eixo e também modifica a altura do vértice. Por isso não convém decorar que cada coeficiente «move a curva» numa única direção. As fórmulas h = −b/(2a) e k = f(h) explicam o efeito combinado.

Zeros, sinal e inequações quadráticas

O discriminante Δ = b² − 4ac indica quantos zeros reais existem. Quando Δ > 0, chama r₁ e r₂ às raízes ordenadas, com r₁ < r₂. Na forma a(x − r₁)(x − r₂), podemos determinar o sinal de cada fator em cada intervalo. Se a > 0, a função é positiva fora das raízes e negativa entre elas. Se a < 0, os sinais invertem-se.

Se Δ = 0, a expressão é a(x − r)²: o sinal fora da raiz coincide com o sinal de a e não muda ao atravessar r. Se Δ < 0, a função não toca o eixo horizontal e mantém o sinal de a em todo ℝ. Estas conclusões resultam da fatorização ou da forma canónica, não apenas de memorizar um desenho.

Resolver f(x) ≥ 0 pede os intervalos onde a saída é não negativa; as raízes são incluídas. Resolver f(x) > 0 exclui-as. Depois cruza a solução algébrica com o domínio do problema. Se x representa objetos, pode ser necessário conservar apenas os inteiros do intervalo. A inequação tem uma coleção de entradas como resposta.

Interseções e escolha de modelos

Dois gráficos cruzam-se onde têm a mesma entrada e a mesma saída. Para comparar f e g, resolve f(x) = g(x), ou estuda o sinal de f(x) − g(x). Comparar uma reta e uma parábola conduz geralmente a uma equação quadrática, com zero, uma ou duas interseções reais. A condição f(x) > g(x) corresponde a f(x) − g(x) > 0.

Num problema de área, otimização ou receita, o vértice pode dar um extremo. Mas se o domínio é [a, b], precisamos de saber se a abcissa do vértice pertence ao intervalo e comparar também as fronteiras relevantes. Se o domínio é discreto, os inteiros mais próximos do vértice merecem exame. Um máximo contínuo em x = 4,5 não autoriza vender meio objeto.

Uma função afim pressupõe aumento absoluto constante; uma quadrática pressupõe uma forma específica de alteração desse aumento. Nenhuma se deve prolongar indefinidamente só porque ajusta alguns dados. A escolha do modelo precisa de uma razão, como uma relação geométrica, uma tarifa definida ou um padrão apoiado por informação suficiente.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Toda a função afim é proporcionalidade direta.

A proporcionalidade direta exige ordenada na origem igual a zero.

O coeficiente a de uma quadrática é o seu declive constante.

A taxa média depende do intervalo; a regula a curvatura e a concavidade.

Numa inequação quadrática só se apresentam as raízes.

As raízes delimitam intervalos; é preciso estudar o sinal e incluir ou excluir os extremos.

O máximo contínuo resolve sempre uma contagem.

Uma contagem exige entradas inteiras; compara as admissíveis próximas do vértice.