Dados e probabilidade — complemento

Bases: o que e quem estamos a observar

A população é o conjunto sobre o qual queremos saber algo; uma amostra é a parte que observamos. Se pretendemos estudar os tempos de deslocação de todos os alunos de uma escola, essa é a população. Os 40 alunos entrevistados constituem uma amostra. O tamanho da amostra importa, mas a forma de seleção também: escolher só quem chega muito cedo pode enviesar os tempos recolhidos.

Uma variável é a característica registada em cada unidade observada. O meio de transporte é qualitativo; o número de irmãos é quantitativo discreto; o tempo de viagem é quantitativo contínuo, embora seja arredondado ao minuto. Códigos numéricos de categorias não transformam categorias em quantidades: calcular a média de códigos de autocarro e caminhada não produz uma medida útil.

Uma amostra aleatória não garante a perfeição, mas ajuda a evitar escolhas sistematicamente favoráveis a certos resultados. É diferente selecionar pessoas aleatoriamente e distribuir um tratamento aleatoriamente: a primeira escolha ajuda a representar uma população; a segunda ajuda a comparar causas num estudo experimental. Não responder a um inquérito e medir de maneiras diferentes também podem distorcer conclusões.

Organizar e representar uma distribuição

A frequência absoluta de um valor ou classe é o número de observações que lhe pertencem. A frequência relativa divide essa contagem pelo total n; a percentagem multiplica por 100. Se 9 de 30 alunos usam bicicleta, a frequência relativa é 9/30 = 0,3 e a percentagem é 30%. A soma das frequências absolutas deve dar n e a das relativas deve dar 1, salvo pequenos efeitos de arredondamento.

Para categorias, um gráfico de barras separadas mostra contagens ou proporções. Para uma variável contínua agrupada em intervalos, um histograma usa barras contíguas. Se as classes têm larguras diferentes, é a área de cada barra, e não simplesmente a altura, que deve representar a frequência; usa-se uma densidade adequada. Declara sempre as fronteiras das classes para que nenhuma observação fique sem classe ou em duas.

Um gráfico precisa de título, eixos, unidades e escalas legíveis. Cortar o eixo vertical num gráfico de barras pode exagerar diferenças visuais. Agrupar dados facilita a leitura, mas perde informação sobre os valores dentro de cada classe. Uma média calculada com centros de classes é geralmente uma aproximação, não a média exata dos dados originais.

Média, mediana e moda respondem a perguntas diferentes

A média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de observações: x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n. Pode interpretar-se como uma redistribuição igual do total. Se cada valor xᵢ aparece fᵢ vezes, a média é a soma dos produtos fᵢxᵢ dividida pela soma das frequências. Não se faz a média simples de médias de grupos de tamanhos diferentes.

A mediana exige ordenar os dados. Para n ímpar é o valor central; para n par é a média dos dois valores centrais. A moda é um valor de maior frequência e pode não ser única. Na lista 2, 3, 3, 4, 18, a média é 30/5 = 6, a mediana é 3 e a moda é 3. O valor extremo 18 puxa a média, embora quatro dos cinco dados estejam entre 2 e 4.

Não há uma única medida sempre melhor. A média usa todas as magnitudes e é útil para totais; a mediana descreve uma posição central menos sensível à magnitude dos extremos; a moda pode descrever a categoria mais frequente. Uma conclusão deve indicar qual medida usa e mostrar, quando relevante, a forma da distribuição.

A mesma média pode esconder variabilidade

As listas 4, 5, 6 e 0, 5, 10 têm média 5, mas a segunda está mais espalhada. A amplitude total é máximo menos mínimo: 2 na primeira e 10 na segunda. Essa medida usa apenas dois valores. A amplitude interquartil, Q₃ − Q₁, descreve a dispersão da metade central; o procedimento de cálculo dos quartis deve ser declarado, pois existem convenções diferentes em amostras pequenas.

O desvio padrão usa os desvios em relação à média. Para uma população completa de N valores, a variância é σ² = [Σ(xᵢ − μ)²]/N e o desvio padrão é σ = √σ². O símbolo Σ significa somar os termos indicados e μ é a média populacional. Os quadrados impedem que desvios positivos e negativos se cancelem. A raiz devolve a unidade original dos dados.

Quando usamos uma amostra de n > 1 valores para estimar a variância populacional, a fórmula usual é s² = [Σ(xᵢ − x̄)²]/(n − 1), e s = √s². O denominador diferente responde ao objetivo de estimação; é necessário indicar a fórmula usada. Um desvio padrão zero significa que todos os valores são iguais, não que a média seja zero.

Resultados, acontecimentos e frequências observadas

O espaço amostral Ω reúne os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Um acontecimento A é um subconjunto de Ω. A probabilidade P(A) está entre 0 e 1, com P(Ω) = 1. Se os resultados elementares são finitos e equiprováveis, P(A) = número de resultados favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis. A equiprobabilidade é uma hipótese e não decorre de simplesmente listar resultados.

Num dado ideal de seis faces, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O acontecimento «par» tem três resultados, logo probabilidade 3/6 = 1/2. O complemento Aᶜ reúne os resultados que não pertencem a A e tem probabilidade 1 − P(A). Na união A ∪ B basta acontecer um deles; na interseção A ∩ B devem acontecer ambos.

A regra P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) subtrai a parte contada duas vezes. Uma frequência observada de 47 resultados pares em 100 lançamentos é 0,47, não uma alteração automática da probabilidade teórica 0,5. Em muitas repetições independentes sob o mesmo modelo, frequências relativas tendem a aproximar-se da probabilidade; não há obrigação de compensar imediatamente uma sequência de resultados.

Probabilidade condicionada: quem fica no denominador

P(A | B) significa probabilidade de A sabendo que B ocorreu. A informação restringe o universo a B. Por isso o denominador passa a ser a probabilidade de B, que deve ser positiva:

Se escolhemos ao acaso um aluno entre 40, dos quais 25 usam transporte coletivo e 10 desses 25 chegam antes das 7 horas, a probabilidade de chegar antes das 7, sabendo que usa transporte coletivo, é 10/25. Dividir por 40 responderia à pergunta «usa transporte coletivo e chega antes das 7», não à pergunta condicionada.

A regra da multiplicação é P(A ∩ B) = P(B)P(A | B). A e B são independentes quando saber um não altera a probabilidade do outro; equivale a P(A ∩ B) = P(A)P(B). São incompatíveis se não podem ocorrer juntos, isto é, A ∩ B é vazio. Dois acontecimentos de probabilidades positivas e incompatíveis não são independentes: saber que um ocorreu torna o outro impossível.

Em extrações sem reposição, a composição do conjunto muda e as probabilidades seguintes devem ser recalculadas. Com reposição e nova seleção aleatória nas mesmas condições, podemos ter independência. A hipótese precisa de ser justificada; «acontecem em momentos diferentes» não é suficiente.

Correlação, causalidade e leitura crítica

Um diagrama de dispersão coloca pares de observações (x, y) e ajuda a ver associação positiva, negativa, ausência de padrão linear ou uma relação curva. O coeficiente de correlação linear r, quando definido, varia entre −1 e 1 e descreve direção e força de associação linear. Um valor próximo de zero não exclui uma relação não linear.

Correlação não demonstra causalidade. Numa observação hipotética, alunos com mais horas de estudo podem obter resultados superiores, mas motivação, apoio disponível ou conhecimentos anteriores podem influenciar as duas variáveis. Também pode haver causalidade no sentido inverso ou seleção de participantes. Uma reta ajustada descreve uma associação; não prova que alterar x isoladamente produzirá a mudança prevista em y.

Antes de generalizar, pergunta quem foi observado, como os dados foram obtidos, que comparações são justas e que fatores ficaram de fora. Não extrapoles uma tendência para idades, tempos ou quantidades muito além dos dados sem uma razão adicional. Uma resposta estatística responsável combina cálculo, descrição das condições e limites claros do que as observações permitem concluir.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Uma amostra grande elimina qualquer viés.

Uma seleção sistematicamente parcial pode manter viés mesmo com muitas observações.

A média descreve toda a distribuição.

É necessário examinar dispersão, assimetria, extremos e contexto.

Numa condicional divide-se sempre pelo total inicial.

Divide-se pelo conjunto ou probabilidade da condição conhecida.

Independência significa que dois acontecimentos não podem ocorrer juntos.

Isso é incompatibilidade; independência significa que a informação sobre um não altera a probabilidade do outro.

Correlação prova que uma variável causa a outra.

Associação observada admite confundimento, causalidade inversa e outras explicações.