Resonancia y aplicaciones de las ondas

Repasar movimiento armónico y frecuencia natural

Un muelle ideal ejerce fuerza restauradora F=−kx, donde x es el desplazamiento respecto al equilibrio y k la rigidez en N/m. El signo negativo indica sentido contrario al desplazamiento. Por la segunda ley, mx″=−kx. La función x=A cos(ω₀t+φ) satisface esa ecuación si ω₀²=k/m. La frecuencia natural angular es ω₀=√(k/m), en rad/s, y la frecuencia en hercios es f₀=ω₀/(2π).

La amplitud A es la separación máxima del equilibrio; la fase φ indica el estado inicial. Dos oscilaciones pueden tener la misma frecuencia y amplitudes diferentes, o la misma amplitud y fases diferentes. La energía mecánica ideal alterna entre energía cinética y potencial elástica, con total kA²/2. El modelo es lineal: supone un muelle en régimen elástico proporcional y una masa efectiva constante. Desplazamientos grandes o materiales fuera de ese régimen pueden exigir otro modelo.

Amortiguamiento: la energía abandona el movimiento

Una fuerza de amortiguamiento viscoso puede aproximarse por −bx′, con b en kg/s. Sin excitación externa, la ecuación es mx″+bx′+kx=0. La potencia de esa fuerza es −b(x′)²≤0, mostrando que retira energía mecánica y la transfiere a otras formas. Esto explica la disminución de amplitud, sin afirmar que la energía total haya desaparecido.

Con amortiguamiento débil, el sistema sigue oscilando y la amplitud decae. En el caso subamortiguado, la frecuencia angular libre amortiguada es √(ω₀²−(b/2m)²), menor que ω₀. Si b=2√(mk), tenemos amortiguamiento crítico, límite entre oscilación y retorno no oscilatorio; para valores superiores el retorno es sobreamortiguado. El comportamiento también depende de las condiciones iniciales. La frecuencia natural sin amortiguamiento y la frecuencia libre amortiguada no deben confundirse solo porque puedan estar próximas cuando b es pequeño.

Una fuerza periódica cambia la pregunta

Aplica ahora F(t)=F₀ cos(ωt). La ecuación se convierte en mx″+bx′+kx=F₀ cos(ωt). La frecuencia ω es elegida por el agente externo, mientras ω₀ pertenece al modelo masa–muelle. La respuesta inicial incluye un transitorio dependiente de las condiciones iniciales. Con amortiguamiento positivo, ese transitorio decae, dejando un régimen permanente con la frecuencia impuesta.

En el régimen permanente se escribe x=A(ω)cos(ωt−δ), donde δ es el retraso de fase. A frecuencias bajas, el muelle sigue la fuerza casi cuasiestáticamente. A frecuencias muy altas, la inercia dificulta grandes desplazamientos y la respuesta se retrasa casi media vuelta. Entre esos regímenes puede aparecer una gran amplitud. El crecimiento no es creación de energía: la fuerza externa suministra trabajo en cada ciclo y el amortiguamiento disipa energía. El régimen permanente se establece cuando las medias de esas transferencias se equilibran.

De dónde viene la amplitud y dónde está el pico

Sustituir la respuesta sinusoidal en la ecuación produce una parte proporcional al desplazamiento y otra en cuadratura, asociada a la velocidad. Sus coeficientes son (k−mω²)A y bωA. Como esas partes están desfasadas un cuarto de ciclo, la amplitud de la fuerza satisface F₀²=A²[(k−mω²)²+(bω)²]. Así:

El mayor desplazamiento depende del denominador entero, no solo de k−mω². Para una fuerza de amplitud fija y amortiguamiento viscoso, el pico de desplazamiento ocurre en ωp=√(ω₀²−b²/(2m²)), cuando b²<2mk. Si el amortiguamiento es mayor, no existe ese pico interior positivo. Por tanto, no hay una regla universal que sitúe todo máximo de amplitud exactamente en ω₀. Con amortiguamiento débil, ωp está cerca de ω₀ y la aproximación es frecuentemente adecuada.

Fase y energía: ¿qué respuesta estamos midiendo?

La fase satisface tanδ=bω/(k−mω²), eligiendo el cuadrante correcto para 0≤δ≤π. En ω=ω₀, δ=π/2 para b>0: el desplazamiento se retrasa un cuarto de ciclo respecto a la fuerza. La velocidad queda en fase con la fuerza y la transferencia media de energía es eficiente. Usar solo la arcotangente sin considerar el signo del denominador puede producir la fase equivocada por encima de ω₀.

La potencia media disipada es bω²A²/2. Para este modelo y F₀ fija, alcanza el máximo en ω=ω₀, aunque el pico de desplazamiento esté ligeramente por debajo. Esta diferencia enseña a declarar qué magnitud se observa: desplazamiento, velocidad o potencia. Un amortiguamiento mayor reduce y ensancha la respuesta de desplazamiento. Un pico estrecho permite seleccionar frecuencias, pero puede hacer el sistema sensible a pequeños cambios. Sin amortiguamiento y con excitación exactamente natural, no hay amplitud permanente finita: el modelo ideal predice un crecimiento que los sistemas reales terminan limitando.

Ondas estacionarias y modos

En una cuerda de extremos fijos, la reflexión y la superposición permiten modos con nodos en los extremos. Caben n medias longitudes de onda a lo largo de L: λₙ=2L/n, con n entero positivo. Si la velocidad de la onda es v, fₙ=nv/(2L). El modo fundamental tiene n=1; los modos siguientes son armónicos enteros en este modelo ideal de cuerda uniforme.

Una excitación próxima a un modo puede producir una respuesta fuerte si se acopla a ese patrón y la disipación no la suprime. No basta con que coincida una frecuencia: la posición de aplicación de la fuerza y la simetría importan. Excitar en un nodo de un modo determinado puede acoplarse poco a él. Las columnas de aire con diferentes condiciones de extremo tienen secuencias diferentes de modos. Los instrumentos musicales y los sistemas de control de vibración aprovechan o limitan esas respuestas, respetando siempre geometría, disipación y amplitud de funcionamiento.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

La resonancia hace surgir energía de la nada.

La excitación suministra energía; la disipación y la no linealidad limitan la respuesta.

La frecuencia natural y todo pico de amplitud son idénticos.

El pico depende del amortiguamiento, la excitación y la magnitud observada.

Una onda estacionaria es ausencia de movimiento en toda la cuerda.

Los nodos quedan en reposo, pero los vientres oscilan; el patrón espacial permanece.