Funciones y ecuaciones trigonométricas

Repasar la circunferencia y los radianes

En la circunferencia unitaria, el punto final de un ángulo x tiene coordenadas (cos x, sen x). Una vuelta completa vale 2π rad, correspondientes a 360°. En esta clase, los argumentos escritos sin símbolo de grado están en radianes. Para recuperar valores exactos, usa los ángulos de referencia π/6, π/4 y π/3 y después elige los signos según el cuadrante.

Por ejemplo, sen(7π/6) = −1/2 porque el ángulo está en el tercer cuadrante y tiene referencia π/6. El coseno es −√3/2 y la tangente es √3/3. El seno lee la altura del punto y el coseno su posición horizontal. Esta interpretación permite decidir cuántos puntos tienen una altura o abscisa indicada.

La identidad sen² x + cos² x = 1 procede de la ecuación de la circunferencia. La tangente es sen x/cos x y exige cos x ≠ 0. Una identidad es una igualdad válida en todo el dominio común; una ecuación pide las entradas en las que ocurre una igualdad particular. Mezclar estas tareas puede llevar a afirmar que una condición se cumple para todos los ángulos cuando solo se cumple para algunos.

Del punto a curvas periódicas

Cuando x aumenta de 0 a 2π, el seno recorre los valores 0, 1, 0, −1, 0 en los argumentos 0, π/2, π, 3π/2, 2π. El coseno recorre 1, 0, −1, 0, 1 en esos mismos argumentos. Entre esos puntos los valores varían continuamente, formando curvas suaves. La tabla organiza puntos notables; la circunferencia explica el comportamiento entre ellos.

Seno y coseno tienen dominio ℝ e imagen [−1, 1]. Ambos tienen período fundamental 2π: f(x + 2π) = f(x) para cualquier x, y no hay un período positivo menor que funcione para todos los argumentos. El período es un cambio en la entrada que reproduce todo el patrón, no solo la distancia entre dos puntos de la misma altura.

La tangente tiene dominio ℝ excluyendo π/2 + kπ, con k entero, e imagen ℝ. El período fundamental es π, porque avanzar media vuelta cambia simultáneamente los signos del seno y del coseno, conservando el cociente. Las rectas x = π/2 + kπ son asíntotas verticales; la tangente no toma un valor infinito en esos puntos, pues allí no está definida.

Amplitud, línea media y período

Considera y = A sen[B(x − h)] + D, con A ≠ 0 y B ≠ 0. La línea media es y = D, la amplitud es |A| y la imagen es [D − |A|, D + |A|]. El signo de A puede reflejar la gráfica respecto a la línea media, pero la amplitud es una distancia y nunca es negativa. La misma estructura vale para el coseno.

Para descubrir el período T, queremos que el argumento cambie una vuelta completa: |B|T = 2π. Por tanto T = 2π/|B|. El parámetro B no es el período; cuanto mayor es |B|, más rápidamente completa vueltas el argumento y menor es el período. El desplazamiento horizontal h se lee después de poner el argumento en la forma B(x − h).

Por ejemplo, 2 sen(3x − π) + 4 = 2 sen[3(x − π/3)] + 4. La amplitud es 2, la línea media es 4, el período es 2π/3 y el desplazamiento es π/3 hacia la derecha. Leer −π como desplazamiento directo ignoraría el factor 3. Si A = 0 o B = 0, la función se vuelve constante y no se aplica la fórmula del período fundamental de esta sinusoide.

Dos familias e infinitas vueltas

Resolver sen x = a exige primero |a| ≤ 1; fuera de ese intervalo no hay solución real. Si α es un ángulo con sen α = a, las familias generales son x = α + 2kπ o x = π − α + 2kπ, k entero. En los casos a = ±1, las familias pueden coincidir, y deben eliminarse las repeticiones. Geométricamente, una altura suele cortar la circunferencia en dos puntos por vuelta.

Para cos x = a, con |a| ≤ 1, si cos α = a, tenemos x = α + 2kπ o x = −α + 2kπ. Para tan x = a, una solución α genera x = α + kπ. La tangente admite cualquier valor real a, pero las entradas deben seguir en su dominio. Un valor principal de la calculadora es solo un representante, no la lista entera.

Las funciones inversas principales eligen intervalos para dar una respuesta única: arcsen devuelve valores en [−π/2, π/2], arccos en [0, π] y arctan en ]−π/2, π/2[. La notación «sen⁻¹» puede aparecer para arcsen en una calculadora; no significa 1/sen. Después de obtener el valor principal, usa simetría y periodicidad para recuperar las restantes soluciones solicitadas.

Álgebra aplicada a expresiones trigonométricas

Una ecuación puede ser cuadrática en sen x o cos x. Haz una sustitución temporal, como u = sen x, y resuelve la ecuación polinómica. Después exige que u esté entre −1 y 1 y vuelve a las familias trigonométricas. Un candidato u = 2 puede resolver la ecuación algebraica auxiliar, pero no puede ser el seno de un ángulo real.

Factorizar conserva posibilidades que una división podría perder. En sen x cos x = 0, la propiedad del producto nulo da sen x = 0 o cos x = 0. Dividir inmediatamente entre sen x eliminaría todas las soluciones en las que el seno es cero. Tampoco se permite multiplicar una igualdad por una expresión indefinida para «cancelar» un denominador.

Si el argumento es 2x, resuelve primero para ese argumento o transforma cuidadosamente las familias. En el intervalo 0 ≤ x < 2π, el valor 2x recorre [0, 4π[, es decir, dos vueltas. Buscar solo una vuelta de 2x pierde soluciones. Cuando añades o divides factores en las familias generales, el período de la incógnita también cambia.

Modelos periódicos y selección de intervalos

Un modelo periódico representa un fenómeno cuyo patrón se repite aproximadamente. Si una altura oscila entre 2 m y 8 m, la línea media es (2 + 8)/2 = 5 m y la amplitud es (8 − 2)/2 = 3 m. Si el ciclo dura 12 s, el factor angular es 2π/12 = π/6 rad/s. La fase inicial depende de dónde empieza el movimiento y de su sentido.

Por ejemplo, H(t) = 5 − 3 cos(πt/6) empieza en el mínimo: H(0) = 2. A los 6 s alcanza 8 y a los 12 s vuelve a 2. El argumento πt/6 es adimensional cuando t se mide en segundos con el factor angular correspondiente. La amplitud tiene la unidad de la altura, mientras que el período tiene la unidad del tiempo.

Cuando la pregunta pide «durante el primer ciclo», elige un intervalo como [0, 12[ o [0, 12], según los extremos declarados. Un instante de frontera puede pertenecer a dos ciclos si ambos son cerrados. La respuesta debe enumerar los instantes admisibles y no limitarse a escribir una familia infinita sin filtrarla según el contexto.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

La amplitud puede ser negativa.

Es |A|, una distancia a la línea media.

El factor B es el período de la sinusoide.

Para B ≠ 0, el período es 2π/|B|.

La calculadora da todas las soluciones trigonométricas.

Da un valor principal; la circunferencia y la periodicidad proporcionan las restantes.

Dividir entre seno o coseno nunca altera las soluciones.

Puede eliminar ceros de ese factor o usar puntos fuera del dominio.

El intervalo de x también es el intervalo de 2x.

Multiplicar el argumento cambia el intervalo recorrido y puede aumentar el número de soluciones.