Funciones, dominio y representaciones

Repaso: de una regla a pares ordenados

Una relación asocia elementos. Una función es una relación en la que cada entrada permitida tiene exactamente una salida. Considera la regla «a cada entero entre 1 y 4 asociar su cuadrado». Los pares son (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16). La lista permite comprobar la unicidad de la salida para todas las entradas de ese dominio finito.

En la notación f(x), x es la entrada y f(x) es el resultado. Si f(x) = 3x − 2, entonces f(5) = 13. En cambio, f(x) = 13 es una ecuación, cuya solución es x = 5. La letra f es el nombre de la función; podríamos llamarla g sin cambiar la idea, siempre que la definición fuera la misma. La variable de entrada también puede llamarse t, especialmente cuando representa tiempo.

Repasar la sustitución es esencial: si g(x) = x² + 2x, entonces g(−3) = (−3)² + 2(−3) = 9 − 6 = 3. Los paréntesis mantienen la entrada negativa completa bajo el cuadrado. También podemos tener g(1) = 3. Eso no viola la definición: dos entradas pueden dar la misma salida.

Dominio, codominio e imagen

Escribir f: D → C indica que D es el dominio y C el codominio declarado. Cada x de D debe recibir un valor f(x) perteneciente a C. La imagen, Im(f), reúne solo los valores que se alcanzan efectivamente. Por eso Im(f) está contenida en C, pero no tiene por qué ser igual a C.

Por ejemplo, define f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ por f(x) = x². El dominio contiene cinco entradas; la imagen es {0, 1, 4}; el codominio es todo ℝ. El número 3 pertenece al codominio, pero no a la imagen. Si declaráramos el codominio {0, 1, 4}, la misma regla sobre las mismas entradas pasaría a alcanzar todo el codominio.

En la función q: ℝ → ℝ, q(x) = x², la imagen es [0, +∞[. Todo y ≥ 0 se alcanza mediante x = √y, mientras que ningún y negativo puede ser el cuadrado de un real. Se llama sobreyectiva a una función que alcanza todo el codominio declarado. Se llama inyectiva a una función en la que entradas diferentes producen salidas diferentes; q no es inyectiva en ℝ, pues q(−2) = q(2).

Cómo descubrir el dominio de una fórmula

Cuando una fórmula se da sin dominio explícito y trabajamos en ℝ, buscamos su dominio natural: los valores reales para los que todas las operaciones tienen sentido. Los polinomios, como x³ − 2x + 1, aceptan todos los reales. Un denominador no puede ser cero. Una raíz de índice par exige radicando no negativo; una raíz de índice impar admite también números negativos.

Para f(x) = √(x − 2)/(x − 5), necesitamos simultáneamente x − 2 ≥ 0 y x − 5 ≠ 0. La primera condición da x ≥ 2; la segunda excluye 5. El dominio es [2, 5[ ∪ ]5, +∞[. El símbolo ∪ significa unión: entradas de un intervalo o del otro. La palabra «simultáneamente» corresponde a la intersección de las condiciones, no a elegir solo una.

La simplificación no elimina las restricciones originales. La expresión (x² − 9)/(x − 3) coincide con x + 3 solo para x ≠ 3. La primera tiene una entrada prohibida en 3; la segunda, si se define en todo ℝ, no la tiene. Las fórmulas simplificadas pueden describir los mismos valores donde ambas existen, pero las funciones con dominios diferentes no son la misma función.

Palabras, tabla, diagrama y gráfica

Una descripción verbal explica el significado de las magnitudes y las hipótesis; una tabla muestra pares concretos; una expresión permite calcular valores; una gráfica hace visibles tendencias e intersecciones. Ninguna representación hace automáticamente innecesarias las otras. Una tabla finita no determina, por sí sola, una fórmula única para todos los reales: muchas reglas pueden coincidir en los puntos listados y diferir entre ellos.

En un diagrama de flechas, cada elemento del dominio debe tener una única flecha de salida. Varias flechas pueden llegar al mismo destino. En la gráfica cartesiana, una recta vertical x = a no puede encontrar dos puntos con ordenadas diferentes si la relación es función de x. La prueba de la recta vertical expresa geométricamente la unicidad de la salida.

Una circunferencia completa no es la gráfica de una única función y de x: para varias abscisas existen una ordenada positiva y otra negativa. La semicircunferencia superior puede ser una función, por ejemplo y = √(r² − x²) en [−r, r], con r > 0. Restringir la relación permite elegir una única salida, pero necesitamos declarar esa elección.

Leer crecimiento y tasas medias

Una función es creciente en un intervalo cuando entradas mayores dan salidas mayores; es decreciente cuando entradas mayores dan salidas menores. Compara siempre de izquierda a derecha en el eje de entrada. Para f(x) = (x − 3)², la función disminuye hasta x = 3 y aumenta después. Tener salidas positivas no implica crecer: entre 0 y 2, los valores 9, 4 y 1 son positivos y disminuyen.

La tasa media de variación entre entradas distintas a y b es [f(b) − f(a)]/(b − a). El numerador mide el cambio de salida; el denominador mide el cambio de entrada. Si la salida es volumen en litros y la entrada es tiempo en minutos, la tasa está en litros por minuto. Una tasa media no garantiza que el cambio se haya producido de forma uniforme.

Para V(t) = 120 − 6t, entre t = 2 y t = 7, V pasa de 108 a 78. La tasa media es (78 − 108)/(7 − 2) = −30/5 = −6 L/min. El signo negativo indica disminución del volumen. Para esta función afín, todas las tasas medias coinciden; para una función cuadrática eso ya no ocurre.

Dominio del contexto y funciones por tramos

Un modelo puede tener un dominio más restringido que su expresión. Si V(t) = 120 − 6t representa el vaciado de un depósito a tasa constante, el tiempo empieza en 0 y termina cuando V = 0, es decir, en t = 20 min. Usar t = 30 daría un volumen de −60 L, permitido por el cálculo pero incompatible con este modelo físico.

Hay situaciones en las que se aplican reglas diferentes en regiones diferentes. Un servicio hipotético puede cobrar C(n) = 100n para 0 ≤ n ≤ 5 y C(n) = 500 + 80(n − 5) para n > 5, donde n es un número entero de unidades y C está en Kz. El segundo tramo conserva el coste de las primeras cinco y añade 80 por unidad adicional; no vuelve a aplicar el precio a todas las unidades.

Para evaluar C(7), elige primero el tramo correcto: C(7) = 500 + 80 × 2 = 660 Kz. No basta ver una letra y sustituir en cualquier expresión. Los extremos de los tramos necesitan reglas claras: si dos tramos incluyen la misma entrada con salidas distintas, la definición falla; si una entrada del dominio queda sin tramo, también falla.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Imagen y codominio son siempre iguales.

La imagen contiene solo salidas efectivamente alcanzadas; el codominio es el conjunto de destino declarado.

La fórmula determina todo lo que es una función.

El dominio y el codominio forman parte de la definición.

Una salida repetida impide una función.

Es una entrada con dos salidas diferentes lo que viola la definición.

Una función positiva es necesariamente creciente.

La positividad compara salidas con cero; el crecimiento compara salidas entre sí cuando la entrada aumenta.