Sucesiones y progresiones

Bases: la posición no es el valor

Una sucesión es una función definida en posiciones enteras sucesivas, por ejemplo n = 1, 2, 3, …. Escribimos uₙ para el término de orden n. En la sucesión 7, 11, 15, 19, …, tenemos u₁ = 7 y u₃ = 15. El índice 3 es una posición, mientras que 15 es el valor en esa posición; no son dos maneras de escribir el mismo número.

Algunas sucesiones empiezan en n = 0. Si definimos vₙ = 5 × 2ⁿ para n = 0, 1, 2, …, el primer valor es v₀ = 5. Si empezamos en n = 1, el primer valor de esa misma expresión será 10. Antes de usar una fórmula, lee dónde empieza el índice y qué magnitud representa el término.

En la gráfica de una sucesión se marcan puntos (n, uₙ). No existen automáticamente entradas como n = 2,5. Unir los puntos con una línea puede ayudar a ver una tendencia, pero introduce valores intermedios que no pertenecen al dominio original. Una función de variable real puede servir de prolongación, siempre que se reconozca esa nueva elección.

Reglas explícitas, recurrencia y límites de un patrón

Una regla explícita calcula el término directamente a partir del índice. En uₙ = 4n + 3, n ≥ 1, encontramos u₁₀ = 43 sin calcular los nueve términos anteriores. Una regla de recurrencia calcula a partir de términos anteriores y necesita datos iniciales: u₁ = 7 y uₙ₊₁ = uₙ + 4 para n ≥ 1 producen la misma sucesión.

La recurrencia por sí sola no basta. La regla «sumar 4 al anterior» puede empezar en 7, en −2 o en otro número, originando sucesiones diferentes. Una recurrencia con dos términos anteriores, como uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ, normalmente exige dos valores iniciales para fijar la sucesión.

Observar 2, 4, 6 no demuestra que el siguiente término sea 8. Esa continuación es natural bajo la hipótesis de diferencia constante, pero otras reglas coinciden en los tres primeros términos. Por ejemplo, uₙ = 2n + (n − 1)(n − 2)(n − 3) da 2, 4, 6 y después 14. Es necesario distinguir «la regla propuesta es» de «los pocos datos obligan a». La justificación matemática trabaja con la regla, no solo con la apariencia.

Progresión aritmética: crecimiento por suma

En una progresión aritmética, o PA, la diferencia entre términos consecutivos es constante: uₙ₊₁ − uₙ = d. El número d se llama diferencia de la PA. Puede ser positivo, negativo o cero. Partiendo de u₁, el segundo término es u₁ + d, el tercero es u₁ + 2d y, después de n − 1 pasos, el término general es:

El factor n − 1 cuenta los pasos entre el primer término y el término de orden n. Para ir de la posición 1 a la posición 6 hacemos cinco pasos, no seis. Si el índice empieza en cero, la fórmula correspondiente es uₙ = u₀ + nd. Esa diferencia es de convención, no una contradicción.

Si d > 0, la PA es estrictamente creciente; si d < 0, es decreciente; si d = 0, es constante. Entre dos términos, uⱼ − uᵢ = (j − i)d. Así, conocer dos posiciones distintas y sus respectivos valores permite calcular d. Es la estructura de una función afín observada solo en las entradas enteras, con la misma unidad de incremento en cada paso.

Sumar una PA mediante emparejamiento

Llama Sₙ a la suma de los primeros n términos. Escribe la suma una vez en orden normal y otra en orden inverso. Al sumar miembro a miembro, cada par vale u₁ + uₙ: el primero y el último, el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente. Existen n pares en esta suma de dos copias de la suma, por lo que 2Sₙ = n(u₁ + uₙ).

La división entre dos corrige el hecho de haber contado la suma dos veces. El argumento también funciona con n impar: presentar dos copias evita cualquier dificultad con el término central. No necesitamos una regla separada para sumas con un número impar de términos.

Por ejemplo, una fila de bloques puede tener 6 piezas, la siguiente 9, después 12, continuando con un aumento constante de 3. La sexta tiene 6 + 5 × 3 = 21 piezas. El total de las seis filas es 6(6 + 21)/2 = 81 piezas. El término u₆ mide piezas en una fila; S₆ mide piezas en las seis filas. Confundir término y suma responde a otra pregunta.

Progresión geométrica: crecimiento por factor

En una progresión geométrica, o PG, cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante q: uₙ₊₁ = quₙ. Con primer término no nulo y q ≠ 0, el cociente uₙ₊₁/uₙ confirma la razón. Después de n − 1 multiplicaciones, uₙ = u₁qⁿ⁻¹. Si q = 0, la recurrencia produce u₁, 0, 0, …; trata ese caso directamente para evitar dividir entre términos nulos.

Un porcentaje constante da un factor constante: aumentar 15% equivale a multiplicar por 1,15; disminuir 15% equivale a multiplicar por 0,85. Un aumento porcentual no es un aumento absoluto constante. Partiendo de 100, dos aumentos de 15% dan 100 × 1,15² = 132,25, porque el segundo aumento se aplica sobre 115.

Para u₁ > 0, q > 1 produce crecimiento; 0 < q < 1 produce decrecimiento con valores positivos. Si q < 0, los signos alternan, por lo que «aumenta siempre» generalmente deja de tener sentido. La magnitud depende de |q|. Por ejemplo, con q = −1/2, los signos alternan mientras los módulos disminuyen. La condición sobre u₁ importa al afirmar monotonía.

Sumar y comparar modelos multiplicativos

Para una PG finita, Sₙ = u₁ + u₁q + … + u₁qⁿ⁻¹. Multiplicar por q desplaza los términos una posición. Restar las dos igualdades cancela los términos intermedios y da Sₙ − qSₙ = u₁ − u₁qⁿ. Por tanto, si q ≠ 1, Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Para q = 1, todos los términos son u₁ y Sₙ = nu₁.

Una suma infinita no se obtiene simplemente borrando el último término. Cuando |q| < 1, qⁿ se acerca a cero y las sumas finitas se acercan a u₁/(1 − q). Este valor es el límite de las sumas parciales. Fuera de esa condición, en general no hay una suma infinita finita mediante esa fórmula; el caso de todos los términos nulos es trivial y debe distinguirse.

Al comparar una PA con una PG, especifica el horizonte y los parámetros. Una PG de razón 0,9 disminuye, no crece más deprisa que una PA creciente. En aplicaciones, los factores y los incrementos pueden cambiar con el tiempo. Un modelo regular es útil dentro de las hipótesis asumidas; no es una garantía de que poblaciones, precios o recursos mantengan para siempre la misma regla.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

El índice n es el valor del término.

n identifica la posición; uₙ es el número asociado a esa posición.

En la fórmula a partir del primer término hay n incrementos.

De la posición 1 a la posición n hay n − 1 pasos.

Un porcentaje constante crea una PA.

Crea multiplicación por factor constante, es decir, una PG cuando se mantienen las condiciones.

La fórmula de suma geométrica permite siempre infinitos términos.

Para obtener un límite finito no trivial se exige |q| < 1.