Datos y probabilidad — complemento

Bases: qué y a quién estamos observando

La población es el conjunto sobre el que queremos saber algo; una muestra es la parte que observamos. Si pretendemos estudiar los tiempos de desplazamiento de todos los alumnos de una escuela, esa es la población. Los 40 alumnos entrevistados constituyen una muestra. El tamaño de la muestra importa, pero la forma de selección también: elegir solo a quienes llegan muy temprano puede sesgar los tiempos recogidos.

Una variable es la característica registrada en cada unidad observada. El medio de transporte es cualitativo; el número de hermanos es cuantitativo discreto; el tiempo de viaje es cuantitativo continuo, aunque se redondee al minuto. Los códigos numéricos de categorías no transforman las categorías en cantidades: calcular la media de códigos de autobús y caminata no produce una medida útil.

Una muestra aleatoria no garantiza la perfección, pero ayuda a evitar elecciones sistemáticamente favorables a ciertos resultados. Seleccionar personas aleatoriamente es diferente de asignar un tratamiento aleatoriamente: la primera elección ayuda a representar una población; la segunda ayuda a comparar causas en un estudio experimental. No responder a una encuesta y medir de maneras diferentes también pueden distorsionar las conclusiones.

Organizar y representar una distribución

La frecuencia absoluta de un valor o clase es el número de observaciones que le pertenecen. La frecuencia relativa divide ese conteo entre el total n; el porcentaje multiplica por 100. Si 9 de 30 alumnos usan bicicleta, la frecuencia relativa es 9/30 = 0,3 y el porcentaje es 30%. La suma de las frecuencias absolutas debe dar n y la de las relativas debe dar 1, salvo pequeños efectos de redondeo.

Para categorías, una gráfica de barras separadas muestra conteos o proporciones. Para una variable continua agrupada en intervalos, un histograma usa barras contiguas. Si las clases tienen anchuras diferentes, es el área de cada barra, y no simplemente la altura, la que debe representar la frecuencia; se usa una densidad adecuada. Declara siempre las fronteras de las clases para que ninguna observación quede sin clase o en dos.

Una gráfica necesita título, ejes, unidades y escalas legibles. Cortar el eje vertical en una gráfica de barras puede exagerar las diferencias visuales. Agrupar datos facilita la lectura, pero pierde información sobre los valores dentro de cada clase. Una media calculada con centros de clases es generalmente una aproximación, no la media exacta de los datos originales.

Media, mediana y moda responden a preguntas diferentes

La media aritmética es la suma de los valores dividida entre el número de observaciones: x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n. Puede interpretarse como una redistribución igual del total. Si cada valor xᵢ aparece fᵢ veces, la media es la suma de los productos fᵢxᵢ dividida entre la suma de las frecuencias. No se calcula la media simple de medias de grupos de tamaños diferentes.

La mediana exige ordenar los datos. Para n impar es el valor central; para n par es la media de los dos valores centrales. La moda es un valor de mayor frecuencia y puede no ser única. En la lista 2, 3, 3, 4, 18, la media es 30/5 = 6, la mediana es 3 y la moda es 3. El valor extremo 18 eleva la media, aunque cuatro de los cinco datos estén entre 2 y 4.

No hay una única medida que sea siempre mejor. La media usa todas las magnitudes y es útil para totales; la mediana describe una posición central menos sensible a la magnitud de los extremos; la moda puede describir la categoría más frecuente. Una conclusión debe indicar qué medida usa y mostrar, cuando sea relevante, la forma de la distribución.

La misma media puede ocultar variabilidad

Las listas 4, 5, 6 y 0, 5, 10 tienen media 5, pero la segunda está más dispersa. El rango total es máximo menos mínimo: 2 en la primera y 10 en la segunda. Esa medida usa solo dos valores. El rango intercuartílico, Q₃ − Q₁, describe la dispersión de la mitad central; debe declararse el procedimiento de cálculo de los cuartiles, pues existen convenciones diferentes en muestras pequeñas.

La desviación típica usa las desviaciones respecto a la media. Para una población completa de N valores, la varianza es σ² = [Σ(xᵢ − μ)²]/N y la desviación típica es σ = √σ². El símbolo Σ significa sumar los términos indicados y μ es la media poblacional. Los cuadrados impiden que se cancelen las desviaciones positivas y negativas. La raíz devuelve la unidad original de los datos.

Cuando usamos una muestra de n > 1 valores para estimar la varianza poblacional, la fórmula habitual es s² = [Σ(xᵢ − x̄)²]/(n − 1), y s = √s². El denominador diferente responde al objetivo de estimación; es necesario indicar la fórmula usada. Una desviación típica cero significa que todos los valores son iguales, no que la media sea cero.

Resultados, sucesos y frecuencias observadas

El espacio muestral Ω reúne los resultados posibles de un experimento aleatorio. Un suceso A es un subconjunto de Ω. La probabilidad P(A) está entre 0 y 1, con P(Ω) = 1. Si los resultados elementales son finitos y equiprobables, P(A) = número de resultados favorables dividido entre el número de resultados posibles. La equiprobabilidad es una hipótesis y no se deriva de simplemente enumerar resultados.

En un dado ideal de seis caras, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El suceso «par» tiene tres resultados, por tanto probabilidad 3/6 = 1/2. El complemento Aᶜ reúne los resultados que no pertenecen a A y tiene probabilidad 1 − P(A). En la unión A ∪ B basta con que ocurra uno de ellos; en la intersección A ∩ B deben ocurrir ambos.

La regla P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) resta la parte contada dos veces. Una frecuencia observada de 47 resultados pares en 100 lanzamientos es 0,47, no una alteración automática de la probabilidad teórica 0,5. En muchas repeticiones independientes bajo el mismo modelo, las frecuencias relativas tienden a acercarse a la probabilidad; no hay obligación de compensar inmediatamente una secuencia de resultados.

Probabilidad condicionada: quién queda en el denominador

P(A | B) significa probabilidad de A sabiendo que B ha ocurrido. La información restringe el universo a B. Por eso el denominador pasa a ser la probabilidad de B, que debe ser positiva:

Si elegimos al azar un alumno entre 40, de los cuales 25 usan transporte colectivo y 10 de esos 25 llegan antes de las 7 horas, la probabilidad de llegar antes de las 7, sabiendo que usa transporte colectivo, es 10/25. Dividir entre 40 respondería a la pregunta «usa transporte colectivo y llega antes de las 7», no a la pregunta condicionada.

La regla de la multiplicación es P(A ∩ B) = P(B)P(A | B). A y B son independientes cuando conocer uno no altera la probabilidad del otro; equivale a P(A ∩ B) = P(A)P(B). Son incompatibles si no pueden ocurrir juntos, es decir, A ∩ B es vacío. Dos sucesos de probabilidades positivas e incompatibles no son independientes: saber que uno ha ocurrido hace imposible el otro.

En extracciones sin reemplazo, la composición del conjunto cambia y deben recalcularse las probabilidades siguientes. Con reemplazo y una nueva selección aleatoria en las mismas condiciones, podemos tener independencia. La hipótesis debe justificarse; «ocurren en momentos diferentes» no es suficiente.

Correlación, causalidad y lectura crítica

Un diagrama de dispersión coloca pares de observaciones (x, y) y ayuda a ver asociación positiva, negativa, ausencia de patrón lineal o una relación curva. El coeficiente de correlación lineal r, cuando está definido, varía entre −1 y 1 y describe la dirección y la fuerza de la asociación lineal. Un valor próximo a cero no excluye una relación no lineal.

La correlación no demuestra causalidad. En una observación hipotética, los alumnos con más horas de estudio pueden obtener resultados superiores, pero la motivación, el apoyo disponible o los conocimientos anteriores pueden influir en las dos variables. También puede haber causalidad en el sentido inverso o selección de participantes. Una recta ajustada describe una asociación; no demuestra que cambiar x aisladamente produzca el cambio previsto en y.

Antes de generalizar, pregunta a quién se ha observado, cómo se han obtenido los datos, qué comparaciones son justas y qué factores han quedado fuera. No extrapoles una tendencia a edades, tiempos o cantidades muy alejados de los datos sin una razón adicional. Una respuesta estadística responsable combina cálculo, descripción de las condiciones y límites claros de lo que las observaciones permiten concluir.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Una muestra grande elimina cualquier sesgo.

Una selección sistemáticamente parcial puede mantener el sesgo incluso con muchas observaciones.

La media describe toda la distribución.

Es necesario examinar dispersión, asimetría, extremos y contexto.

En una condicional se divide siempre entre el total inicial.

Se divide entre el conjunto o la probabilidad de la condición conocida.

Independencia significa que dos sucesos no pueden ocurrir juntos.

Eso es incompatibilidad; independencia significa que la información sobre uno no altera la probabilidad del otro.

La correlación demuestra que una variable causa la otra.

La asociación observada admite factores de confusión, causalidad inversa y otras explicaciones.