Mouvement circulaire et gravitation

Un tour peut être décrit par un angle

Sur un cercle de rayon r, un arc de longueur s correspond à l'angle θ = s/r en radians. Un angle au centre mesure un radian lorsqu'il intercepte un arc de longueur égale au rayon. Puisque le périmètre vaut 2πr, un tour complet correspond à 2π rad, soit 360°. La conversion est essentielle : les relations s = rθ et v = rω supposent des radians.

Si le corps parcourt des angles égaux en des durées égales, la vitesse angulaire ω est constante et le mouvement circulaire est uniforme. Sa norme vaut ω = Δθ/Δt, en rad/s. La vitesse tangentielle vaut v = rω, en m/s. Les corps sur un même disque rigide ont le même ω, mais les points plus éloignés de l'axe ont un v plus grand.

La période T est la durée d'un tour, en s, et la fréquence f le nombre de tours par seconde, en Hz. Puisqu'un tour mesure 2π rad, ω = 2π/T = 2πf et v = 2πr/T. Ces relations relient une description temporelle à la géométrie de la trajectoire.

Une norme constante ne signifie pas un vecteur vitesse constant

La vitesse instantanée est tangente au cercle. À mesure que le corps avance, cette tangente change de direction. Même si la longueur du vecteur vitesse reste identique, le vecteur change ; il existe donc une accélération. Le terme « uniforme » désigne ici la norme de la vitesse, et non la constance du vecteur complet.

Compare deux instants proches séparés par un petit angle Δθ. Le triangle formé par les vecteurs vitesse est semblable à celui formé par les rayons. Ainsi, sur de petits intervalles, |Δv|/v se rapproche de Δs/r. En divisant par Δt et en utilisant Δs/Δt = v, on obtient a centripète = v²/r.

À la limite d'instants de plus en plus proches, l'accélération pointe vers le centre du cercle. On peut aussi écrire a centripète = ω²r. L'unité de v²/r est (m²/s²)/m = m/s². L'accélération ne pointe pas dans le sens de la vitesse : elle lui est perpendiculaire en mouvement circulaire uniforme.

Le rôle centripète de la résultante

D'après la deuxième loi, la somme des composantes des forces dans la direction radiale vaut mv²/r, orientée vers le centre. « Force centripète » est le nom de ce rôle de la résultante ; ce n'est pas une nouvelle interaction à ajouter au diagramme. Elle peut être fournie par la tension, la gravité, le frottement, la réaction normale ou une combinaison.

Dans un virage horizontal plat, le frottement entre le pneu et la route peut fournir la résultante horizontale vers le centre. Pour un corps attaché à une corde en rotation horizontale idéalisée, la tension peut fournir la force radiale. Pour un satellite, c'est la gravité. Identifie toujours les corps qui exercent les forces réelles.

Choisir le centre comme sens radial positif aide à écrire ΣF radiale = mv²/r. Si le mouvement a lieu sur un cercle vertical, le poids peut contribuer vers le centre en un point et à l'opposé en un autre. La tension n'a pas nécessairement la même valeur sur tout le tour. Si un calcul exige une tension négative dans une corde, le modèle de la corde tendue n'est plus valable.

Lorsque la valeur de la vitesse change aussi

Dans un mouvement circulaire non uniforme, il existe deux composantes d'accélération : la radiale, de norme v²/r, qui change la direction, et la tangentielle, qui décrit le changement de valeur de la vitesse. Elles sont perpendiculaires. Si les deux sont connues, la norme totale s'obtient par Pythagore.

En mouvement circulaire uniforme, la résultante est perpendiculaire à la vitesse et ne fournit aucun travail sur la particule : l'énergie cinétique reste constante. Une force peut donc modifier le mouvement sans changer K. Ce lien éclaire la différence entre modifier un vecteur et modifier seulement sa norme.

Si la contrainte qui maintenait la courbe disparaît, le corps ne continue pas automatiquement sur le cercle. À un instant idéalisé où les forces pertinentes cessent d'agir, il suit la direction tangente avec la vitesse qu'il avait à cet instant. L'idée d'une force réelle qui le projette radialement vers l'extérieur n'appartient pas au diagramme dans un référentiel inertiel.

La même interaction relie les corps proches et lointains

La loi de gravitation universelle donne F = GMm/r² pour des masses ponctuelles ou des corps à symétrie sphérique extérieurs l'un à l'autre. M et m sont les masses en kg, r la distance entre les centres en m et G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². La force est attractive et chaque corps exerce sur l'autre une force de même norme.

La distance n'est pas la hauteur au-dessus du sol. Pour un corps à la hauteur h d'une planète sphérique de rayon R, r = R + h. Le champ gravitationnel a pour norme g(r) = GM/r². L'approximation g ≈ constante utilisée pour de petites chutes fonctionne parce que h est très petit par rapport à R.

Doubler r réduit F au quart ; doubler l'une des masses double F. La gravité peut être faible entre de petits objets tout en dominant les mouvements astronomiques grâce aux grandes masses. L'expression ne traite plus correctement un corps étendu si nous sommes à l'intérieur de sa répartition de masse sans en tenir compte.

Une orbite circulaire est une chute continue

Pour un satellite de masse m en orbite circulaire, en négligeant les autres interactions et en supposant M beaucoup plus grande, la gravité fournit toute la résultante radiale : GMm/r² = mv²/r. La masse m se simplifie et nous obtenons v = √(GM/r). Cela ne signifie pas une absence de gravité ; c'est précisément elle qui courbe le mouvement.

Puisque T = 2πr/v, il vient T² = 4π²r³/(GM). Pour des orbites autour de la même masse centrale, T² est proportionnel à r³. Les corps plus éloignés ont une vitesse orbitale circulaire plus faible et une période plus longue. Il ne faut pas imposer le même v à toutes les orbites sans analyser la force disponible.

La sensation d'apesanteur dans un satellite vient du fait que les astronautes et le vaisseau sont ensemble en chute libre. Il n'est pas nécessaire que g soit nul. Les orbites réelles peuvent être elliptiques ; dans ce cas, la vitesse varie et les expressions de l'orbite circulaire ne s'appliquent pas point par point sans adaptation. Les lois de Kepler décrivent cette géométrie plus générale, dont l'orbite circulaire est un cas particulier.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Une vitesse de valeur constante signifie une accélération nulle.

La direction de la vitesse peut changer, produisant une accélération centripète.

Centripète est une interaction supplémentaire.

C'est le rôle de la résultante radiale des forces réelles.

Un satellite est en apesanteur parce qu'il n'y a pas de gravité.

Il est en chute libre, la gravité fournissant l'accélération orbitale.

Le r de la gravitation est la hauteur au-dessus du sol.

C'est la distance entre les centres dans le modèle sphérique.