Mouvement dans le plan et lancement oblique

Deux axes décrivent une position

Dans un plan, il nous faut deux coordonnées : r = (x,y). Choisis une origine, un axe x horizontal et un axe y vertical positif vers le haut. La position peut être décrite par une flèche de l'origine au corps ; le déplacement entre deux instants a pour composantes Δx et Δy. Sa norme vaut √[(Δx)² + (Δy)²].

La vitesse possède aussi des composantes vₓ et vᵧ. Sa norme vaut v = √(vₓ² + vᵧ²). Une composante nulle n'impose pas un vecteur nul : au point le plus haut d'un lancement oblique, vᵧ = 0 mais vₓ n'est généralement pas nul. La direction de la vitesse est tangente à la trajectoire.

Si le lancement a une vitesse v₀ et un angle θ au-dessus de l'horizontale, v₀ₓ = v₀ cos θ et v₀ᵧ = v₀ sin θ. Ces résultats viennent de la projection du triangle rectangle formé par le vecteur et ses composantes. Les composantes conservent les unités m/s ; le sinus et le cosinus sont sans unité. Vérifie que la calculatrice utilise les degrés ou les radians selon l'angle fourni.

Ce qui fait d'un corps un projectile dans le modèle

Après le lancement et avant l'impact, nous considérons que la seule force pertinente est le poids. Nous négligeons la résistance de l'air, la propulsion et les effets de rotation. Près de la surface, le champ gravitationnel est approximativement uniforme. Nous utiliserons g = 9,8 m/s² dans tous les exemples de ce cours.

D'après la deuxième loi, aₓ = 0 et aᵧ = −g. La vitesse horizontale reste donc constante et la verticale varie uniformément. L'indépendance signifie que la force verticale ne modifie pas directement la composante horizontale. Cela ne signifie pas qu'il existe deux corps ou deux horloges : les composantes décrivent le même corps pendant le même temps.

Une balle lâchée et une autre lancée horizontalement de la même hauteur atteignent le sol simultanément dans ce modèle si elles commencent avec la même vitesse verticale. La seconde avance davantage horizontalement, mais cette avancée ne retarde pas la chute. Dans le monde réel, l'air, la forme et la rotation peuvent modifier le résultat, particulièrement pour les objets légers ou les grandes trajectoires.

Construire les équations par composante

Si t = 0 est l'instant du lancement, les équations horizontales sont x = x₀ + v₀ₓt et vₓ = v₀ₓ. Puisque aₓ = 0, il n'existe pas de terme quadratique dans x. La distance horizontale ne permet de trouver le temps que si v₀ₓ est non nul et si le mouvement respecte ce modèle.

À la verticale, nous appliquons l'accélération constante : y = y₀ + v₀ᵧt − gt²/2 et vᵧ = v₀ᵧ − gt. On a aussi vᵧ² = v₀ᵧ² − 2g(y − y₀). Cette dernière relation évite le temps, mais perd le signe de vᵧ en l'élevant au carré ; il faut identifier physiquement la montée ou la descente.

Pour trouver l'instant d'un événement, impose la condition correspondante : le sommet signifie vᵧ = 0 ; le sol signifie y égal à la hauteur du sol ; le passage devant un mur signifie x égal à la position du mur. Calcule d'abord l'instant recherché, puis utilise-le dans l'autre composante. Rejette les racines négatives lorsque l'intervalle étudié commence au lancement.

Pourquoi la trajectoire est parabolique

Lorsque v₀ₓ ≠ 0, la relation horizontale donne t = (x − x₀)/v₀ₓ. En remplaçant dans l'équation verticale, on obtient y − y₀ = (v₀ᵧ/v₀ₓ)(x − x₀) − [g/(2v₀ₓ²)](x − x₀)². C'est une fonction quadratique de la coordonnée horizontale : la trajectoire est une parabole dans le modèle adopté.

La concavité est tournée vers le bas parce que le coefficient du terme quadratique est négatif. La courbe dessinée dans l'espace n'est pas la même chose qu'un graphique y(t), bien que les deux soient paraboliques dans cette situation. L'une utilise la distance horizontale sur l'axe ; l'autre le temps. Les axes et les unités racontent une partie essentielle de l'histoire.

Pour un lancement exactement vertical, v₀ₓ = 0 et l'élimination précédente implique une division par zéro : elle ne s'applique pas. La trajectoire est une droite verticale, décrite uniquement par l'équation de y(t). Une formule a un domaine de validité ; reconnaître un cas particulier fait partie de la résolution, et n'est pas un détail facultatif.

Sommet et retour à la hauteur initiale

Au sommet, 0 = v₀ᵧ − gt, donc t sommet = v₀ᵧ/g pour un lancement initialement ascendant. En remplaçant dans la position, la hauteur gagnée vaut Δh maximale = v₀ᵧ²/(2g). C'est l'augmentation par rapport au lancement ; la hauteur au-dessus du sol inclut encore y₀.

Si l'arrivée est exactement à la hauteur initiale, l'équation verticale donne t(v₀ᵧ − gt/2) = 0. Outre la racine du lancement t = 0, la durée de vol vaut 2v₀ᵧ/g. La portée horizontale vaut R = v₀ₓt = v₀² sin(2θ)/g. La symétrie de la montée et de la descente dépend du retour au même niveau et du maintien des hypothèses du modèle.

À vitesse initiale fixe et arrivée à la même hauteur, sin(2θ) atteint son maximum à θ = 45°. Des angles complémentaires donnent la même portée idéale, mais des hauteurs et des durées différentes. Si l'arrivée est au-dessus ou au-dessous du lancement, l'expression précédente de R et l'affirmation des 45° ne sont plus générales. Résous l'équation avec la différence de hauteur réelle.

Une solution doit se terminer par une interprétation

Organise les données en deux groupes de composantes, mais utilise une chronologie commune. Écris les conditions initiales et finales avec leurs signes ; par exemple, un point 5 m sous l'origine a y = −5 m. Ne remplace pas toujours « hauteur » par un nombre positif sans avoir choisi le référentiel.

Après avoir obtenu vₓ et vᵧ à un instant, calcule la norme et la direction si la question demande la vitesse complète. L'angle s'obtient par tan φ = vᵧ/vₓ, mais le quadrant dépend des signes. Lors d'un impact après une chute, vᵧ doit être négatif avec l'axe vers le haut ; une racine carrée positive peut n'indiquer que la norme.

Vérifie les résultats : t doit être positif pour le vol futur ; la portée doit avoir le sens de v₀ₓ ; au sommet, la valeur de la vitesse vaut |v₀ₓ|, et non zéro. Une comparaison énergétique, v² = v₀² − 2g(y − y₀), peut vérifier la norme finale lorsque seule la gravité fournit du travail.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Au sommet, toute la vitesse est nulle.

Seule la composante verticale est nulle dans un lancement oblique habituel.

Le mouvement horizontal retarde la chute.

Avec les hypothèses du modèle, l'évolution verticale dépend uniquement des conditions verticales.

45° donne toujours la portée maximale.

La conclusion exige la même hauteur de départ et d'arrivée et le modèle sans air.