Movimiento circular y gravitación

Una vuelta puede describirse mediante un ángulo

En una circunferencia de radio r, un arco de longitud s corresponde al ángulo θ = s/r en radianes. Un radián es el ángulo que abarca un arco igual al radio. Como el perímetro es 2πr, una vuelta completa corresponde a 2π rad, equivalentes a 360°. La conversión es esencial: las relaciones s = rθ y v = rω suponen radianes.

Si el cuerpo recorre ángulos iguales en tiempos iguales, la velocidad angular ω es constante y el movimiento circular es uniforme. Su módulo es ω = Δθ/Δt, en rad/s. La rapidez tangencial es v = rω, en m/s. Los cuerpos en el mismo disco rígido tienen la misma ω, pero los puntos más alejados del eje tienen mayor v.

El período T es la duración de una vuelta, en s, y la frecuencia f es el número de vueltas por segundo, en Hz. Como una vuelta mide 2π rad, ω = 2π/T = 2πf y v = 2πr/T. Estas relaciones vinculan una descripción temporal con la geometría de la trayectoria.

Rapidez constante no es velocidad constante

La velocidad instantánea es tangente a la circunferencia. A medida que el cuerpo avanza, esa tangente cambia de dirección. Aunque la longitud del vector velocidad permanezca igual, el vector cambia; por tanto existe aceleración. La expresión «uniforme» se refiere aquí al módulo de la velocidad, no a la constancia del vector completo.

Compara dos instantes próximos separados por un pequeño ángulo Δθ. El triángulo formado por los vectores velocidad es semejante al triángulo formado por los radios. Así, para intervalos pequeños, |Δv|/v se aproxima a Δs/r. Dividiendo entre Δt y usando Δs/Δt = v, resulta a centrípeta = v²/r.

En el límite de instantes cada vez más próximos, la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia. También puede escribirse a centrípeta = ω²r. La unidad v²/r es (m²/s²)/m = m/s². La aceleración no apunta en el sentido de la velocidad: es perpendicular a ella en el movimiento circular uniforme.

Centrípeta es la función de la resultante

Por la segunda ley, la suma de las componentes de las fuerzas en la dirección radial vale mv²/r, orientada hacia el centro. «Fuerza centrípeta» es el nombre de esa función de la resultante; no es una interacción nueva que añadir al diagrama. Puede ser proporcionada por la tensión, la gravedad, el rozamiento, la normal o una combinación.

En una curva horizontal plana, el rozamiento entre neumático y carretera puede proporcionar la resultante horizontal hacia el centro. En un cuerpo sujeto a una cuerda en rotación horizontal idealizada, la tensión puede proporcionar la fuerza radial. En un satélite, es la gravedad. Identifica siempre qué cuerpos ejercen las fuerzas reales.

Elegir el centro como sentido radial positivo ayuda a escribir ΣF radial = mv²/r. Si el movimiento ocurre en una circunferencia vertical, el peso puede contribuir hacia el centro en un punto y contra el centro en otro. La tensión no necesita tener el mismo valor en toda la vuelta. Si un cálculo exige tensión negativa en una cuerda, el modelo de cuerda estirada ha dejado de ser válido.

Cuando la rapidez también cambia

En un movimiento circular no uniforme hay dos componentes de aceleración: radial, de módulo v²/r, que cambia la dirección, y tangencial, que describe el cambio de rapidez. Las dos son perpendiculares. La magnitud total puede obtenerse mediante Pitágoras si se conocen ambas.

En un movimiento circular uniforme, la resultante es perpendicular a la velocidad y no realiza trabajo sobre la partícula: la energía cinética se mantiene constante. Una fuerza puede, por tanto, alterar el movimiento sin alterar K. Esta relación aclara la diferencia entre cambiar un vector y cambiar solo su módulo.

Si desaparece la restricción que mantenía la curva, el cuerpo no continúa automáticamente en la circunferencia. En un instante idealizado en que dejan de actuar fuerzas relevantes, sigue la dirección tangente con la velocidad que tenía en ese instante. La idea de una fuerza real que lo lanza radialmente hacia fuera no pertenece al diagrama en un sistema de referencia inercial.

La misma interacción relaciona cuerpos próximos y lejanos

La ley de gravitación universal da F = GMm/r² para masas puntuales o cuerpos esféricamente simétricos externos entre sí. M y m son masas en kg, r es la distancia entre centros en m y G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². La fuerza es atractiva y cada cuerpo ejerce sobre el otro una fuerza del mismo módulo.

La distancia no es la altura sobre el suelo. Para un cuerpo a altura h de un planeta esférico de radio R, r = R + h. El campo gravitatorio tiene módulo g(r) = GM/r². La aproximación g ≈ constante usada en pequeñas caídas funciona porque h es muy pequeño respecto a R.

Duplicar r reduce F a un cuarto; duplicar una de las masas duplica F. La gravedad puede ser débil entre objetos pequeños y aun así dominar los movimientos astronómicos debido a las grandes masas. La expresión deja de tratar correctamente un cuerpo extenso si estamos dentro de su distribución de masa sin considerar esa distribución.

Una órbita circular es una caída continua

Para un satélite de masa m en órbita circular, despreciando otras interacciones y suponiendo M mucho mayor, la gravedad proporciona toda la resultante radial: GMm/r² = mv²/r. La masa m se cancela y obtenemos v = √(GM/r). Eso no significa ausencia de gravedad; es precisamente la gravedad la que curva el movimiento.

Como T = 2πr/v, resulta T² = 4π²r³/(GM). Para órbitas alrededor de la misma masa central, T² es proporcional a r³. Los cuerpos más lejanos tienen menor rapidez orbital circular y mayor período. No se debe imponer el mismo v a todas las órbitas sin analizar la fuerza disponible.

La sensación de ingravidez en un satélite ocurre porque astronautas y nave están juntos en caída libre. No es necesario que g sea cero. Las órbitas reales pueden ser elípticas; en ese caso la rapidez varía y las expresiones de órbita circular no se aplican punto por punto sin adaptación. Las leyes de Kepler describen esa geometría más amplia, y la órbita circular es un caso especial.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Rapidez constante significa aceleración nula.

La dirección de la velocidad puede cambiar, produciendo aceleración centrípeta.

Centrípeta es una interacción adicional.

Es la función de la resultante radial de las fuerzas reales.

Un satélite no tiene peso porque no hay gravedad.

Está en caída libre, con la gravedad proporcionando la aceleración orbital.

El r de la gravitación es la altura sobre el suelo.

Es la distancia entre centros en el modelo esférico.