Movimiento en el plano y lanzamiento oblicuo

Dos ejes describen una posición

En un plano necesitamos dos coordenadas: r = (x,y). Elige un origen, el eje x horizontal y el eje y vertical positivo hacia arriba. La posición puede describirse mediante una flecha del origen al cuerpo; el desplazamiento entre instantes tiene componentes Δx y Δy. Su módulo es √[(Δx)² + (Δy)²].

La velocidad también tiene componentes vₓ y vᵧ. La rapidez es v = √(vₓ² + vᵧ²). Una componente nula no obliga al vector a ser nulo: en el punto más alto de un lanzamiento oblicuo, vᵧ = 0 pero vₓ generalmente no es cero. La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria.

Si el lanzamiento tiene rapidez v₀ y ángulo θ sobre la horizontal, v₀ₓ = v₀ cos θ y v₀ᵧ = v₀ sin θ. Estos resultados provienen de la proyección del triángulo rectángulo formado por el vector y sus componentes. Las componentes conservan unidades de m/s; el seno y el coseno no tienen unidad. Comprueba si la calculadora usa grados o radianes según el ángulo proporcionado.

Qué hace que un cuerpo sea un proyectil en el modelo

Tras el lanzamiento y antes del impacto, consideramos que la única fuerza relevante es el peso. Despreciamos la resistencia del aire, la propulsión y los efectos de rotación. Cerca de la superficie, el campo gravitatorio es aproximadamente uniforme. Usaremos g = 9,8 m/s² en todos los ejemplos de esta clase.

Por la segunda ley, aₓ = 0 y aᵧ = −g. Así, la velocidad horizontal se mantiene constante y la vertical varía uniformemente. La independencia significa que la fuerza vertical no altera directamente la componente horizontal. No significa que existan dos cuerpos o dos relojes: las componentes son descripciones del mismo cuerpo durante el mismo tiempo.

Una pelota soltada y otra lanzada horizontalmente desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente en este modelo si comienzan con la misma velocidad vertical. La segunda avanza más en horizontal, pero ese avance no retrasa la caída. En el mundo real, el aire, la forma y la rotación pueden alterar el resultado, especialmente en objetos ligeros o trayectorias largas.

Construir las ecuaciones por componente

Si t = 0 es el instante del lanzamiento, las ecuaciones horizontales son x = x₀ + v₀ₓt y vₓ = v₀ₓ. Como aₓ = 0, no existe término cuadrático en x. La distancia horizontal solo permite descubrir el tiempo si v₀ₓ es distinto de cero y el movimiento respeta este modelo.

En vertical, aplicamos aceleración constante: y = y₀ + v₀ᵧt − gt²/2 y vᵧ = v₀ᵧ − gt. También se cumple vᵧ² = v₀ᵧ² − 2g(y − y₀). Esta última relación evita el tiempo, pero pierde el signo de vᵧ al elevar al cuadrado; la subida o la bajada deben identificarse físicamente.

Para encontrar el instante de un acontecimiento, impón la condición correspondiente: el punto más alto significa vᵧ = 0; el suelo significa y igual a la altura del suelo; el paso por una pared significa x igual a la posición de la pared. Resuelve primero el tiempo y úsalo después en la otra componente. Rechaza raíces negativas cuando el intervalo estudiado comienza en el lanzamiento.

Por qué la trayectoria es parabólica

Cuando v₀ₓ ≠ 0, la relación horizontal da t = (x − x₀)/v₀ₓ. Sustituyendo en la ecuación vertical, se obtiene y − y₀ = (v₀ᵧ/v₀ₓ)(x − x₀) − [g/(2v₀ₓ²)](x − x₀)². Es una función cuadrática de la coordenada horizontal: la trayectoria es una parábola en el modelo adoptado.

La concavidad está orientada hacia abajo porque el coeficiente del término cuadrático es negativo. La curva dibujada en el espacio no es lo mismo que una gráfica y(t), aunque ambas sean parabólicas en esta situación. Una usa distancia horizontal en el eje; la otra usa tiempo. Los ejes y las unidades cuentan una parte esencial de la historia.

En el caso de lanzamiento exactamente vertical, v₀ₓ = 0 y la eliminación anterior implica una división entre cero: no se aplica. La trayectoria es una línea vertical, descrita solo por la ecuación de y(t). Una fórmula tiene un ámbito de validez; reconocer un caso especial forma parte de la resolución, no es un detalle opcional.

Punto más alto y regreso a la altura inicial

En lo alto, 0 = v₀ᵧ − gt, por tanto t cima = v₀ᵧ/g para un lanzamiento inicialmente ascendente. Sustituyendo en la posición, la altura ganada es Δh máxima = v₀ᵧ²/(2g). Es el aumento respecto al lanzamiento; la altura sobre el suelo todavía incluye y₀.

Si la llegada tiene exactamente la altura inicial, la ecuación vertical da t(v₀ᵧ − gt/2) = 0. Además de la raíz del lanzamiento t = 0, el tiempo de vuelo es 2v₀ᵧ/g. El alcance horizontal es R = v₀ₓt = v₀² sin(2θ)/g. La simetría de la subida y la bajada depende de regresar al mismo nivel y de mantener las hipótesis del modelo.

Para rapidez inicial fija y llegada a la misma altura, sin(2θ) alcanza el máximo en θ = 45°. Los ángulos complementarios dan el mismo alcance ideal, pero alturas y tiempos diferentes. Si la llegada está por encima o por debajo del lanzamiento, la expresión anterior de R y la afirmación de los 45° dejan de ser generales. Resuelve la ecuación con la diferencia de alturas real.

Una solución debe terminar con interpretación

Organiza los datos en dos grupos de componentes, pero usa una línea de tiempo común. Escribe las condiciones iniciales y finales con signos; por ejemplo, un punto 5 m bajo el origen tiene y = −5 m. No sustituyas siempre «altura» por un número positivo sin decidir el sistema de referencia.

Tras obtener vₓ y vᵧ en un instante, calcula el módulo y la dirección si la pregunta pide la velocidad completa. El ángulo puede obtenerse mediante tan φ = vᵧ/vₓ, pero el cuadrante depende de los signos. En un impacto tras una caída, vᵧ debe ser negativo con el eje hacia arriba; una raíz cuadrada positiva puede indicar solo el módulo.

Comprueba los resultados: t debe ser positivo en el vuelo futuro; el alcance debe tener el sentido de v₀ₓ; en lo alto la rapidez es |v₀ₓ|, no cero. Una comparación energética, v² = v₀² − 2g(y − y₀), puede comprobar el módulo final cuando solo la gravedad realiza trabajo.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

En lo alto toda la velocidad es cero.

Solo la componente vertical es cero en un lanzamiento oblicuo habitual.

El movimiento horizontal retrasa la caída.

Con las hipótesis del modelo, la evolución vertical depende solo de las condiciones verticales.

45° siempre da el mayor alcance.

La conclusión exige la misma altura de salida y llegada y el modelo sin aire.